15. Mitschwingen der Wellenmasse bei Drehschwingungen

Saiten, Wellen, Balken sind Beispiele für eindimensionale Kontinua. Das sind Modelle, deren räumliche Masseverteilung sich durch eine Längskoordinate z. B. x erfassen lässt. Der Ort und die Winkelstellung im Raum werden dann durch drei und mehr Funktionen von x und der Zeit t erfasst. Ein Kontinuum-Modell heißt vom funktionalen Freiheitsgrad eins, falls zum Beschreiben der Bewegungen eine dieser Funktionen genügt. Beim Drehschwinger ist der Drehwinkel φ(x,t) die gesuchte Funktion. Die Bewegungsgleichung für die Torsionswelle ist eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung nach Ort und Zeit. Zweite Ordnung nach dem Ort erfordert zwei Randbedingungen, das ist jeweils das Momentengleichgewicht zwischen Welle und mitschwingender Drehmasse. Für die freien Schwingungen gilt wieder (vgl. Kapitel 9): Exponentialansatz → Eigenwertproblem → Eigenfrequenzen → Eigenformen, nur erfordern die Einzelschritte jetzt Teilüberlegungen für das Kontinuum, d.h. die partielle Differentialgleichung und die Scheiben, deren Schwingungen in die Randbedingungen eingehen. Die Frequenzgleichung ist transzendent und führt auf unendlich viele Eigenfrequenzen, die zugehörigen Eigenformen sind jetzt Funktionen von x; bei fortlaufender Zählung kommt mit jeder Eigenfrequenz ein Knoten hinzu. Bei sinusförmiger Erregung ist die Frequenz bekannt, das Erregermoment geht in die Randbedingungen ein. Die Rechnungen sind wegen der bekannten Frequenz einfacher. Zu jeder Eigenfrequenz gehört eine Resonanzstelle.