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About this book

Grundlegende Begriffe wie fehlendes Arbitrage, fairer Preis, vollständiger Markt und Martingal werden anhand von einem Markt mit einem risikolosen Bond und einer Aktie definiert.

Anschließend wird mit dem Übergang zum zeitstetigen Modell die Black-Scholes Formel für Optionen hergeleitet und die Faktoren zur praktischen Implementierung eingeführt. Im umfangreichen dritten Kapitel werden Methoden der stochastischen Analysis wie die Ito-Formel abgeleitet und der klassische Ansatz nach Black-Scholes mittels der stochastischen Differenzialgleichung präsentiert.

Der Ansatz über die Martingaltheorie nach Kreps und Harrison ist der Gegenstand am Beginn des vierten Kapitels, was für die Bewertung komplexer Optionen (amerikanische und exotische) notwendig ist. Im letzten Kapitel sind die Grundlagen der Zinsstrukturmodelle Gegenstand der Betrachtung. Die Bewertung innerhalb der verschiedenen Ansätze (mittels Zinskurvenmodelle oder der Vorwärtsrate) wird diskutiert.

In allen Abschnitten werden numerische Methoden angegeben, die mit Programmen zur praktischen Illustration implementiert werden.

Table of Contents

Frontmatter

1. Grundlegende Begriffe

Zusammenfassung
Anhand von drei Beispielen wollen wir einerseits illustrieren, welche Grundideen die Finanzmathematik aufweist und gleichzeitig fundamentale Begriffe nennen, die im Buch eine zentrale Rolle spielen.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

2. Diskrete Modelle

Zusammenfassung
Die grundlegenden Prinzipien für die Bewertung von Derivaten und den zugrundeliegenden Vermögenswerten lassen sich anhand von diskreten Zeitmodellen, ja sogar schon im Zweiperiodenmodell, erläutern. Dennoch ist für die Modellbildung der kontinuierliche Fall, dem wir im Kapitel 3 bzw. 4 begegnen werden, wichtig, da er besonders für die Zinsderivate eine klare Darstellung ermöglicht. Zudem bereitet im diskreten Fall auch die Berechnung mit einem Computer bei einer großen Anzahl von Handelsperioden Probleme. Doch aus didaktischen Gesichtspunkten wollen wir die diskreten Modelle voranstellen. Bevor wir die einzelnen Prinzipien aufzeigen, soll ein kurzer Überblick gegeben werden.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

3. Übergang zu zeitstetigen Modellen – Einführung in numerische Methoden

Zusammenfassung
Schlägt man eine Börsenzeitschrift auf, so wird man bei der Analyse von Optionen oder Aktien auf Begriffe wie „Volatilität“, „Black-Scholes-Preis“, etc. stoßen. Was bedeuten sie? Und warum sind sie von Interesse? Wir versuchen, in diesem Kapitel Antworten auf diese Fragen zu geben (vgl. 3.2, 3.3). Doch um diese Begriffe elegant einführen zu können, werden wir einen Übergang vom bisher betrachteten diskreten Modell zum zeitstetigen Modell vornehmen und der berühmten Black-Scholes-Formel für die Bewertung europäischer Optionen begegnen. Dabei benutzen wir den Zugang nach Cox, Ross und Rubinstein [CRR79]. Anschließend stellen wir Methoden vor, Optionspreise und Anlagestrategien praktisch zu berechnen. Wir schließen das Kapitel mit einer Betrachtung numerischer Methoden.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

4. Das Black-Scholes-Modell

Zusammenfassung
Schon in den Abschnitten 3.1 und 3.2 haben wir die Bewertung von Derivaten mittels der Methode von Cox-Ross-Rubinstein in einem zeitstetigen Modell betrachtet. In 2.5 sahen wir, dass eine Darstellung gerade für die Bewertung von Zinsprodukten im zeitdiskreten Modell sehr mühsam war. Die elegante Methode, Derivate zu bewerten, deren Weg auch historisch zuerst beschritten wurde, ist der Zugang über eine stochastische Differenzialgleichung. Da dies selbst für einen mathematisch gebildeten Leser nicht als Folklore anzusehen ist, werden wir in diesem Kapitel eine für unsere Zwecke ausreichende und mathematisch noch weitgehend rigorose Herleitung bringen.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

5. Martingalmethoden

Ohne Zusammenfassung
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

6. Amerikanische Optionen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir eine neue Art von Optionen, die dem Halter dieser Option die Möglichkeit bietet, die Option jederzeit bis zum Enddatum T > 0 einzulösen. Da dem Halter somit mehr Rechte zu stehen, wird der Preis dieser Option auch höher sein als bei einem Derivat europäischen Stils. Ein Halter einer europäischen Option kann nur am Ende entscheiden, ob er die Option ausübt oder sie verfallen lässt. Eine Strategie für den Ausübungszeitpunkt einer Option bleibt also außen vor. Anders sieht dies bei den amerikanischen Optionen aus: Der Halter muss eine Strategie entwickeln, wann er ausüben will, d. h. wann er die Laufzeit der Option stoppen möchte. Mathematisch wird dies durch den Begriff der Stoppzeit behandelt, dem wir im diskreten Fall den ersten Abschnitt widmen. Danach gehen wir zur Bewertung der amerikanischen Optionen über – auch hier zuerst im zeitdiskreten Modell. Ein Vergleich zu den europäischen Optionen schließt sich an. Am Schluss besprechen wir kurz die Situation im zeitstetigen Fall, allerdings werden die Details nicht behandeln. Es führt in das Gebiet der partiellen Differenzialgleichungen. Numerische Methoden werden anschließend angesprochen und beendet dieses Kapitel.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

7. Pfadabhängige Optionen

Zusammenfassung
Wurden bisher amerikanische oder europäische Optionen behandelt, deren Auszahlungsfunktionen von einem Zeitpunkt abhingen, so wollen wir uns jetzt den Derivaten zuwenden, deren Auszahlungen von einer ganzen Periode bestimmt werden. Hier geht die Entwicklung des zugrundeliegenden Vermögenswertes über die gesamte Periode ein.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

8. Zeitstetige Zinsstrukturmodelle

Zusammenfassung
Bereits in Abschnitt 2.5 haben wir uns mit der Zinsstruktur von Bonds beschäftigt, dort allerdings im zeitdiskreten Fall. Wir haben schon einige Grundprinzipien kennengelernt und Beispiele für Zinskurvenmodelle diskutiert, wenn auch zum Teil heuristisch. Ausgestattet mit den Techniken der stochastischen Integration und der Martingaltheorie können wir intensiver auf diese Theorie eingehen. Zuerst werden wir nun die Grundlagen erweitern. Damit ausgerüstet entwickeln wir Zinskurvenmodelle, nun mathematisch rigoros. Wir zeigen die Mängel der Preisberechnung von Bonds mithilfe der Zinskurve und geben einen alternativen Zugang – das Heath-Jarrow-Morton- Modell. Einige Zinsderivate, Implementierungen der Modelle und ein Ausblick in die Corporate Bonds runden das Kapitel ab.
Georg Schlüchtermann, Stefan Pilz

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