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2022 | Book

Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen durch Copulas

Theorie und Anwendungen in der Risikotechnik

Author: Prof. Dr. Klaus J. Schröter

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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About this book

In diesem Buch lernen Sie die Vielfalt der Wechselwirkungen von Zufallsvariablen und unterschiedliche Ansätze ihrer theoretischen Beschreibung kennen. Im Fokus der Betrachtungen steht der Einsatz von Copulas; Sie lernen gezielt mit diesen zu operieren. Sie erfahren zunächst anhand umfangreicher Resultate und zahlreicher Beispiele, welche Ausprägungen von Abhängigkeitsstrukturen mit welchen Eigenschaften von Copulas korrespondieren. Anschließend lernen Sie ausgewählte Anwendungen der zuvor bereitgestellten Erkenntnisse kennen, die meist aus der Versicherungstechnik stammen. Sie erhalten beispielsweise einen Einblick in die speziellen Abhängigkeitsstrukturen in den Modellen der Erfahrungstarifierung. Eine Besonderheit stellt der Umgang mit Summen abhängiger Zufallsvariablen dar: Sie erfahren, wie auch ohne Vorliegen der häufigen Annahme der Unabhängigkeit die Verteilung der Summen bestimmt werden kann. Die Anwendungen und Untersuchungen werden zumeist durch Simulationen und Punktwolken illustriert.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Die Welt ist kompliziert. Einfache Antworten auf Fragen unserer Zeit sind meist ebenso erwunscht wie falsch. Im Kontext der Modellierung führt diese Erkenntnis zu der Herausforderung, komplexe Zusammenhänge und Wechselwirkungen möglichst wahrheitsgetreu wiederzugeben.
Klaus J. Schröter

Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen

Frontmatter
Kapitel 2. Verteilungstheoretische Beschreibung
Zusammenfassung
Kapitel 1 stellt einleitend den formalen Rahmen der nachfolgenden Betrachtungen zur Verfügung. Die grundlegenden Begriffe aus dem bekannten Umfeld der Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden eingeführt, ohne dabei detailliert auf maßtheoretische Hintergründe einzugehen. Eine ausführliche Darstellung zu den wahrscheinlichkeits- und insbesondere maßtheoretischen Grundlagen vermittelt Schmidt [2011].
Klaus J. Schröter
Kapitel 3. Charakterisierung von Abhängigkeitsstrukturen
Zusammenfassung
In dem zweiten Kapitel werden die verschiedenen Arten von Abhängigkeitsstrukturen ausführlich beschrieben. Dabei wird das Instrument der Copulas hier noch bewusst ausgeklammert, da diese in Teil II explizit vorgestellt und behandelt werden.
Klaus J. Schröter

Copulas

Frontmatter
Kapitel 4. Grundlagen
Zusammenfassung
Kapitel 3 stellt den Einstieg in Teil II dar und widmet sich den Grundlagen der Theorie der Copulas. Es ist nicht das vorrangige Ziel dieses Kapitels, einen vollständigen Überblick dieser Theorie zu vermitteln. Für diese Zwecke sei etwa auf das fundamentale Werk von Nelsen [2006], Kap. 2, verwiesen, an dessen Darstellungen sich die folgenden Ausführungen auch auszugsweise orientieren.
Klaus J. Schröter
Kapitel 5. Kategorisierung
Zusammenfassung
In Kapitel 4 werden die wichtigsten Kategorien von Copulas und ihre bekanntesten Repräsentanten vorgestellt. Für die meisten Copulas werden ausgewählte Eigenschaften angegeben und simulierte Punktwolken illustriert.
Klaus J. Schröter
Kapitel 6. Charakterisierung von Abhängigkeiten durch Copulas
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird für die meisten der in Abschnitt 2.2 vorgestellten Abhängigkeitsmaße untersucht, inwieweit sie formal von den zugrundeliegenden Copulas abhängen. Das wurde in Abschnitt 2.2 noch nicht umgesetzt, weil die Copulas erst später vorgestellt wurden. Konkret wird es allgemein um Konkordanzmaße und speziell um Korrelationen, Kendalls Tau, Spearmans Rho und Flankenabhängigkeiten, inklusive der in Abschnitt 2.2 eingefuhrten Erweiterungen auf entgegengerichtete und relative Flankenabhängigkeiten, gehen.
Klaus J. Schröter

Anwendungen in der Risikotechnik

Frontmatter
Kapitel 7. Credibility-Modelle und Copulas
Zusammenfassung
In Teil III werden ausgewählte risikotheoretische Disziplinen und Modellbildungen vornehmlich in Hinblick auf etwaige Abhangigkeiten der zugrundeliegenden Zufallsvariablen analysiert. Die vielfach in Standardmodellen der Risikotheorie unterstellte Unabhängigkeit wird somit regelmäßig verworfen und hinterfragt sowie vielmehr nach handhabbaren Alternativen bei Abhängigkeit gesucht. Die aufkommenden Fragen und Problemstellungen bei diesen Untersuchungen sind etwa.
Klaus J. Schröter
Kapitel 8. Summen abhängiger Zufallsvariablen
Zusammenfassung
Vor allem in der Versicherungstechnik und dem dortigen Risikomanagement interessieren häufig Summen von Zufallsvariablen, etwa die einem Bestand zuzuordnenden kumulierten Schadenaufwendungen. Die meisten klassischen Modelle unterstellen dabei Unabhängigkeit zwischen diesen zufälligen Summanden.
Klaus J. Schröter
Kapitel 9. Bivariate Trapezverteilungen im Risikomanagement
Zusammenfassung
Im quantitativen Risikomanagement zählt der Einsatz von Szenario-Techniken und/oder die Szenarioanalyse zu den methodischen Standard-Disziplinen, vgl. etwa Hull [2016], Kap. 7, S. 169 ff., und Wolke [2016], S. 71 ff. Die Szenario-Techniken zeichnen sich dadurch aus, dass bestimmte Zustände und ihre quantitativen Auswirkungen ausgewertet werden, wobei es sich im Risikomanagement regelmäßig um fiktive Negativ-Szenarien handelt, die man als bad cases oder in Extremfällen als worst cases bezeichnet. Diesen Szenarien werden mitunter Wahrscheinlichkeiten bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen unterlegt, um eine Gesamtbewertung unter Berucksichtigung der Eintrittswahrscheinlichkeiten vornehmen zu können.
Klaus J. Schröter
Kapitel 10. Ausgewählte Abhängigkeiten und ihre Copulas
Zusammenfassung
In diesem abschließenden Kapitel werden ausgewählte Abhängigkeitsstrukturen betrachtet und ihre Copulas bestimmt. Zunächst erfolgen Untersuchungen zu allgemeinen Standardtransformationen, vgl. Abschnitt 2.1. Daraufhin stehen solche Einflüsse im Fokus, die spezielleren Zuschnitt auf Anwendungen in der Risikotechnik, insbesondere der Versicherungstechnik, aufweisen.
Klaus J. Schröter
Backmatter
Metadata
Title
Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen durch Copulas
Author
Prof. Dr. Klaus J. Schröter
Copyright Year
2022
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65469-9
Print ISBN
978-3-662-65468-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65469-9