Modulare Arithmetik

Von den ganzen Zahlen zur Kryptographie

Author: Prof. Dr. Thorsten Holm

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Book Series : essentials

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

About this book

Dieses essential bietet eine Einführung in die modulare Arithmetik, die mit wenig Vorkenntnissen zugänglich und mit vielen Beispielen illustriert ist. Ausgehend von den ganzen Zahlen und dem Begriff der Teilbarkeit werden neue Zahlbereiche bestehend aus Restklassen modulo einer Zahl n eingeführt. Für das Rechnen in diesen neuen Zahlbereichen wichtige Hilfsmittel wie der Euklidische Algorithmus, der Chinesische Restsatz und die Eulersche φ-Funktion werden ausführlich behandelt. Als Anwendung der modularen Arithmetik werden zum Abschluss die Grundzüge des für viele moderne Anwendungen grundlegenden RSA-Verschlüsselungsverfahrens präsentiert.

Frontmatter

Kapitel 1. Ganze Zahlen und Teilbarkeit

Zusammenfassung

Ausgehend von den aus der Schule bekannten Rechenregeln für den Zahlbereich der ganzen Zahlen wird das Thema Teilbarkeit ausführlich behandelt. Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen wird eingeführt und die Existenz gezeigt. Die grundlegende Division mit Rest führt dann zum wichtigen Euklidischen Algorithmus, einem effizienten Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers. Im abschließenden Abschnitt werden Primzahlen und einige ihrer fundamentalen Eigenschaften sowie die Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen dargestellt.

Thorsten Holm

Kapitel 2. Modulare Arithmetik

Zusammenfassung

Durch den Begriff der Kongruenz modulo einer natürlichen Zahl n werden die ganzen Zahlen in Klassen eingeteilt, wobei zwei Zahlen in derselben Klasse liegen, wenn sie bei der Division mit Rest durch n denselben Rest lassen. Diese Restklassen modulo n bilden neue Zahlbereiche \(\mathbb {Z}_n\), deren Rechenregeln ausführlich behandelt werden. Als Anwendung wird gezeigt, wie Teilbarkeitsregeln in den ganzen Zahlen durch das Rechnen modulo n begründet werden können. Der Chinesische Restsatz wird formuliert und bewiesen und im Anschluss gezeigt, wie nützlich die Eulersche \(\varphi \)-Funktion beim effizienten Rechnen in den Zahlbereichen \(\mathbb {Z}_n\) ist. Zum Abschluss werden die Grundzüge des für moderne Anwendungen sehr wichtigen RSA-Verschlüsselungsverfahrens präsentiert, für das die modulare Arithmetik die mathematische Grundlage ist.

Thorsten Holm

Backmatter

Title: Modulare Arithmetik
Author: Prof. Dr. Thorsten Holm
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-31946-5
Print ISBN: 978-3-658-31945-8
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-31946-5

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Modulare Arithmetik

Von den ganzen Zahlen zur Kryptographie

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Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Ganze Zahlen und Teilbarkeit

Kapitel 2. Modulare Arithmetik

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