Neue Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht 6

Ausgangspunkt ist die Frage, wie die Geschwindigkeit eines Ruderbootes modelliert werden kann. Mithilfe der die Geschwindigkeit beeinflussenden Kräfte werden Differenzialgleichungen hergeleitet, die die Geschwindigkeit des Ruderbootes in der Antriebsphase bzw. in der Freilaufphase beschreiben. Die Gleichungen werden für einen konkreten Achter aufgestellt und Graphen des Geschwindigkeitsverlaufs erzeugt. Wie kann der Achter eine kürzere Endzeit über die 2000 m – Strecke erreichen? Das Zwei-Phasen-Rudern beim Achter (vier Ruderer in der Antriebsphase, vier Ruderer in der Freilaufphase) wird als Alternative diskutiert. Das Thema bietet Anlass, ein die Fächer Mathematik, Physik und Sport verbindendes Projekt zu realisieren (einschließlich Lernen mit neuen Technologien). Über Unterrichtserfahrungen mit der Thematik in einer Jahrgangsstufe 12 wird berichtet.

Mit einer Einmalzahlung haben sich die AKW-Betreiber-Gesellschaften von allen Verpflichtungen, für die sichere Endlagerung des Atommülls zu sorgen, für immer freigekauft. Reicht diese Summe realistisch oder war es ein Geschenk der Politik?

Dieser Fragestellung wird mit unterschiedlichen Modellierungen, mit Integralrechnung, mit Funktionsbestimmung und mit Tabellenkalkulation nachgegangen.

Insgesamt geht es um Mathematik aus dem Leben und für das Leben, um ein alltagsrelevantes Thema in einem politischen Streitfall.

Ein kurzer Zeitungsausschnitt bietet Gelegenheit, sich mit den tödlichen Folgen des Rauchens weltweit quantitativ auseinander zu setzen – unter der Verwendung der Integralrechnung mit ernsthafter Nutzung eines GTR oder mithilfe einer Tabellenkalkulation.

Insgesamt geht es um Mathematik aus dem Leben und für das Leben, um ein alltagsrelevantes Thema und Handlungskonsequenzen.

Ältere Autofahrerinnen kennen das noch: nach einer längeren Fahrt mit dem Auto musste erst einmal die Frontscheibe freigekratzt werden von den darauf verendeten Insekten. Das passiert kaum noch!

Inzwischen gibt es quantitative Daten zu dieser individuellen, qualitativen Beobachtung. Die Zahl geflügelter Insekten schrumpfte in den vergangenen knapp 30 Jahren auf rund ein Viertel – Anlass für genauere Rechnungen rund um das Thema mit Integralrechnung, Tabellenkalkulation und dem Vergleich der Ergebnisse.

Insgesamt geht es um Mathematik aus dem Leben und für das Leben, um ein alltagsrelevantes Thema und Handlungskonsequenzen.

In Österreich findet – wie in vielen anderen Ländern auch – jährlich Anfang Januar eine Zählung von Wintervögeln statt, also von jenen Vögeln, die in Österreich über Winter bleiben. Wie genau kann eine solche „Zählung“ sein, wenn sie auf freiwilliger Beteiligung von Menschen beruht, die sich eine Stunde Zeit nehmen, Vögel zählen und dann ihr Ergebnis auf einer Internetseite oder per Postkarte an die Organisatoren abliefern? Wir sind dieser Frage nachgegangen und dabei auf viele weitere Fragen gestoßen. Unterrichtsversuche haben uns gezeigt, dass Schülerinnen und Schüler bereit sind, den Wintervögeln zu helfen und zu diesem Zweck genauer über verbesserte Methoden zur Zählung nachzudenken. Als geeignetes Mittel zum Verständnis der Zählmethoden und ihrer Qualität bzw. Genauigkeit haben sich realitätsnahe Übungen von Zählungen auf dem Schulhof bzw. im Klassenraum bewährt. Mit genau geplanten und eingegrenzten Versuchsbedingungen lässt sich gut verstehen, welche Hürden auf dem Weg zu einer genauen Zählung in der Realität zu bewältigen sind. Mit Hilfe von Informationen aus der Biologie über das Verhalten von Wintervögeln kann (fächerübergreifend) erarbeitet werden, welche zusätzlichen Herausforderungen sich ergeben, wenn Wintervögel professionell gezählt werden sollen. Wenn sich eine Schulklasse erfolgreich bemüht hat, selbst solche Fragen zur Modellierung, zum Einsatz statistischer Methoden und Hochrechnungen und deren Genauigkeit zu entwickeln und zu beantworten, kann sie sehr viel Statistik lernen und dieses Wissen auch nutzen, um Anwendungen der Statistik in anderen Bereichen zu verstehen: etwa BIG DATA, die statistische Analyse von Internetnutzungen, oder bei den vielen Statistiken, die in Medien und im Internet als Begründung verwendet werden.

Medien berichten immer wieder von riskanten Anlageformen, Finanzblasen und Kursabstürzen. Was versteht man in diesem Zusammenhang überhaupt unter Risiko? Lässt sich das Risiko einer Investition in ein Wertpapier messen? Ausgehend von einem intuitiven Risikobegriff wird auf Basis historischer Aktienkurse eine Kennzahl entwickelt, die anschließend sukzessive weiterentwickelt wird. In diesem Artikel werden zu Beginn allgemeine Informationen zum Thema Aktien gegeben. Anschließend findet man eine mögliche Modellierung und deren Verbesserungen für den Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Der im Ausblick vorgestellte Modellierungsansatz gibt einen Ausblick auf einen Ansatz, der historische Daten gänzlich vermeidet.

Mathematisches Modellieren gewinnt an großer Bedeutung im Mathematikunterricht. Die Umsetzung im authentischen und realitätsbezogenen Kontext erscheint jedoch aus verschiedenen Gründen schwer umsetzbar und so bleibt das Modellieren oft ein theoretisches Vorgehen im Klassenzimmer. Ebenso mangelt es teilweise an Aufgaben, die den Einstieg in das Modellieren erleichtern und durch Schwerpunktsetzungen einzelne Schritte des Modellierungskreislaufs betonen. Das vorliegende Kapitel greift die Idee der authentischen, einstiegsgerechten Modellierungsaufgaben auf und stellt in diesem Kontext das Projekt MathCityMap vor. Mit diesem wird Mathematik außer Haus durch mathematische Wanderpfade (Mathtrails) in einer modernen, technologiebasierten Variante möglich. Nach einer theoretischen Zusammenfassung in die Mathtrail-Idee und einer Einführung in das MathCityMap-Projekt werden zahlreiche Aufgabenbeispiele aus der Praxis präsentiert, mit deren Hilfe sich verschiedene Schwerpunkte aus dem Modellierungskreislauf setzen und realisieren lassen. Dabei wird insbesondere das Vereinfachen, Strukturieren und Mathematisieren durch Wahl eines geeigneten mathematischen Modells betont. Ein abschließendes Fazit macht den gewinnbringenden Bezug und Transfer von Realität und Mathematik deutlich, sodass sich mithilfe von MathCityMap zentrale Ideen des mathematischen Modellierens außerhalb des Klassenzimmers realisieren lassen.

Das Streichen eines Garagentors und die Frage nach den damit verbundenen Kosten stellt eine reale Problemstellung dar. Diese authentische Fragestellung eignet sich für eine Umsetzung in unterschiedlichen Klassenstufen der Sekundarstufe I. Für den Lösungsprozess dieser Problemstellung müssen die Lernenden unterschiedliche mathematische Inhalte anwenden und miteinander vernetzen, wofür unterschiedliche Fähigkeiten und Kenntnisse erforderlich sind. Die inhaltliche Umsetzung wird in diesem Artikel anhand eines erprobten realitätsbezogenen differenzierten Unterrichtsbeispiels mit Lösungen von Lernenden aufgezeigt.

Ein Sperber ist ein kleiner Greifvogel, der auch seinerseits gejagt wird – z. B. vom Habicht. Besonders tragisch aus der Sicht einer Sperberfamilie ist die Situation, wenn ein Habicht während der Zeit, in der schon geschlüpfte junge Sperber im Nest sitzen und von den Eltern gefüttert werden, das Nest findet und alle Jungen tötet. Weshalb schlagen wir vor, sich mit dieser Thematik im Mathematikunterricht zu beschäftigen? Wir gehen davon aus, dass Schülerinnen und Schüler, die im selbstbestimmten Projektunterricht ihr mathematisches Wissen einsetzen und erweitern, um einen kleinen Ausschnitt aus dem Geschehen der belebten Natur zu modellieren bzw. zu simulieren und so besser zu verstehen, nicht nur etwas über Greifvögel lernen, sondern auch ihre mathematischen Kompetenzen erweitern. Das mit dem Gelingen eines solchen Projektes verbundene Erfolgserlebnis kann zudem zur Motivation für den weiteren Mathematikunterricht erheblich beitragen.

Farbmodelle, wie sie bei Computern, Bildschirmen und Druckern zum Einsatz kommen, bieten die Möglichkeit, einen Großteil der Inhalte der analytischen Geometrie anschaulich und anwendungsbezogen zu unterrichten. Um dies zu belegen, werden im Folgenden die Farbmodelle RGB und CMY bzw. RGBA und CMYK kurz erläutert und gezeigt, wie mithilfe von Farben zentrale Begriffe der analytischen Geometrie in der gymnasialen Oberstufe wie etwa Vektor, lineare Abhängigkeit, Betrag, Basis und Erzeugendensystem motiviert und anschaulich fassbar gemacht werden können.

Der Aufbau des Artikels folgt dabei der Reihenfolge, in der die Inhalte im Unterricht behandelt werden. Zu den einzelnen Unterrichtseinheiten werden ausschließlich erprobte unterrichtspraktische Beispiele vorgestellt. Auf den möglichen (aber nicht notwendigen) Computereinsatz zum Kontext Farben wird an den entsprechenden Stellen eingegangen.

Für Schülerinnen und Schüler, die an komplexen Modellierungsproblemen arbeiten, ist die Unterstützung durch eine Lehrperson unabdingbar, auch und gerade, wenn die Schülerinnen und Schüler so selbstständig wie möglich arbeiten sollen. Die Realisierung dieser Unterstützung stellt hohe Anforderungen an die Lehrperson. Auf Basis der im Modellierungsprozess auftretenden heuristischen Strategien ist es möglich, Lehrerinterventionen zu formulieren, die den Schülerinnen und Schülern strategisch Hilfen geben, ihnen also den weiteren Weg weisen ohne die einzelnen Schritte vorzugeben.

Hier wird am Beispiel einer komplexen Modellierungsfragestellung, die mehrfach erfolgreich in Modellierungsprojekten eingesetzt wurde, beschrieben, wo heuristische Strategien bei der Bearbeitung der Fragestellung auftreten und wie diese Strategien für strategische Interventionen genutzt werden können.

Die Aufgabe „Wie viele Autos stehen in einem Stau?“ gehört zu den „Klassikern“ der Modellierung in Wissenschaft und Unterricht (bspw. Jahnke 1997; Peter-Koop 2003; Maaß 2005 oder Hinrichs 2008). In diesem Beitrag werden die bisherigen Einsätze dieser Aufgabe kritisch betrachtet und eingeordnet, um sie anschließend zu einer kleinen Unterrichtsreihe weiterzuentwickeln. Aufgrund der Vielzahl möglicher Varianten und Annahmen ist die Stauaufgabe prädestiniert für eine Unterrichtsreihe, die den Schülerinnen und Schülern direkt zu Beginn der Sekundarstufe I die Suche nach passenden Annahmen für ihr Realmodell stufenweise nahebringt. Dieser Beitrag enthält eine Unterrichtsreihe, die bereits in verschiedenen 5. Klassen erprobt und erfolgreich eingesetzt wurde. Abschließend wird zudem eine Erweiterung in höhere Jahrgangsstufen skizziert.

Die Bearbeitung mathematischer Modellierungsaufgaben ist komplex und daher eine Herausforderung für Schülerinnen und Schüler. Durch den Einsatz von Metakognition kann die erfolgreiche Bearbeitung unterstützt werden. Doch gelingt der Einsatz von Metakognition in der Regel nicht ohne Hilfe. Vielmehr bedarf es der Unterstützung von Lehrkräften, die für den Einsatz von Metakognition sensibilisiert sein müssen. Im Kapitel wird daher exemplarisch aufgezeigt, an welchen Stellen im Modellierungsprozess der Einsatz von Metakognition hilfreich ist. Ferner werden konkrete Maßnahmen aufgezeigt, mit deren Hilfe eine Lehrkraft die metakognitive Modellierungskompetenz ihrer Schülerinnen und Schüler fördern kann.