5. Nicht wechselwirkende Elektronen im Festkörper

In diesem Kapitel werden wir eine Reihe von vereinfachenden und eigentlich nicht realistischen Modellannahmen machen, die aber sehr nützlich sind, um die Grundlagen der elektronischen Struktur von Festkörpern zu verstehen. In späteren Kapiteln werden wir dann sehen, wie man zumindest einige dieser Annahmen rechtfertigen kann. Zunächst soll das Gitter als starr betrachtet werden, d. h. die Gitterbausteine (die Ionen) sind an festen Positionen \({\mathbf{\mathit{R}}}_{n}\). Diese Annahme ist auch im Sinn der Born-Oppenheimer-Näherung zur Entkopplung von Gitter- und Elektronen-Freiheitsgraden vernünftig. Zusätzlich wollen wir annehmen, dass die Positionen der Atomkerne die Gittervektoren eines Bravais-Gitters sind. Dies ist streng genommen nur für sehr tiefe Temperaturen gültig; wir werden trotzdem später die Thermodynamik für Elektronen in einem streng periodischen Potential berechnen, also den Einfluss endlicher Temperatur in Betracht ziehen, obwohl wir wissen, dass es bei jeder endlichen Temperatur auch Auslenkungen der Ionen aus den Gleichgewichtslagen gibt. Die gröbste Vernachlässigung dieses Kapitels ist aber die, jegliche Wechselwirkung der Elektronen untereinander wegzulassen. Da die Coulomb-Abstoßung der Elektronen groß ist (Größenordnung einige eV), gibt es dafür zunächst keinen naheliegenden Grund. In einem späteren Kapitel werden wir aber die Elektron-Elektron-Wechselwirkung explizit betrachten und dabei sehen, dass man vielfach ein wechselwirkendes Elektronensystem auf ein nichtwechselwirkendes System mit effektiven Parametern abbilden kann; die Wechselwirkung steckt dann nur noch in den Parametern, die in der Regel selbstkonsistent zu bestimmen sind. Wenn wir also zulassen, dass das Einteilchen-Potential, das wir in diesem Kapitel betrachten werden, nicht unbedingt das Potential ist, das von den nackten Atomkernen oder Ionen erzeugt wird, sondern ein effektives Potential ist, in dessen Parameter auch noch Einflüsse der Elektron-Elektron-Wechselwirkung mit eingehen, dann wird verständlich, dass die vorgestellte Behandlung und die einzuführenden Begriffe trotz der zunächst unrealistisch erscheinenden Grundannahme relevant und nützlich wird.