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2021 | Book

Polynominterpolation Read chapter Read first chapter

Numerische Mathematik kompakt

Grundlagenwissen für Studium und Praxis

Author: Prof. Dr. Robert Plato

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Lehrbuch behandelt in kompakter und übersichtlicher Form die grundlegenden Themen der numerischen Mathematik. Es vermittelt ein solides Basiswissen der wichtigen Algorithmen und dazugehörigen Fehler- und Aufwandsbetrachtungen, das zur Lösung von zahlreichen in der Praxis auftretenden mathematischen Problemstellungen benötigt wird. Die vorgestellten Resultate werden mit elementaren Methoden hergeleitet. Für die meisten der vorgestellten Verfahren werden Pseudo-Codes angegeben, die sich unmittelbar in Computerprogramme umsetzen lassen. Mit rund 200 Übungsaufgaben und weiterführenden Literaturhinweisen ist das Buch für das Selbststudium geeignet. Zahlreiche Abbildungen und übersichtliche Schemata erleichtern dabei das Lernen. Das Lehrbuch ist ohne weitere Themenauswahl als Vorlage für zwei jeweils vierstündige einführende Vorlesungen über Numerik verwendbar.In der vorliegenden fünften Auflage sind Aktualisierungen, Korrekturen und stilistische Änderungen vorgenommen worden. Außerdem sind zahlreiche weitere Übungsaufgaben und Beispiele aufgenommen worden, und landausche Symbole werden nun umfassender eingeführt.
InhaltPolynom- und Splineinterpolation, diskrete Fouriertransformation, Integration – Direkte und iterative Lösung linearer Gleichungssysteme – Iterative Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme – Numerische Behandlung von Anfangs- und Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen – Störungstheorie und numerische Verfahren für Eigenwertprobleme bei Matrizen – Approximationstheorie und Rechnerarithmetik
Zielgruppen• Studierende der Mathematik und benachbarter Fächer an Universitäten und Fachhochschulen• Hochschulabsolvent*innen in Industrie und Wirtschaft und an Forschungsinstituten aus den Fachrichtungen Mathematik, Informatik sowie Natur- und Ingenieurwissenschaften

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Polynominterpolation
Zusammenfassung
Gegenstand des vorliegenden Kapitels ist die Interpolation von n + 1 gegebenen Punkten in der Ebene durch ein Polynom vom Höchstgrad n. Dabei handelt es sich um ein Thema, dass an vielen Stellen der Numerik ein grundlegendes Hilfsmittel darstellt. Die zentralen Fragestellungen dazu sind Existenz, Eindeutigkeit, Berechnung und Fehlerdarstellungen, die allesamt ausführlich behandelt werden. Dabei kommen verschiedene Darstellungen wie die lagrangesche und die newtonsche Interpolationsformel sowie das Neville-Schema zum Einsatz, wofür noch dividierte Differenzen eingeführt werden. Das Kapitel schließt mit der Einführung von Tschebyscheff-Polynomen der ersten Art, mit deren Hilfe eine optimale Wahl der Stützstellen möglich wird. Zu Beginn des Kapitels werden die beiden landauschen Symbole einführend behandelt, mit deren Hilfe sich die zentralen Aussagen bei Fehlerabschätzungen und Effizienzbetrachtungen herausstellen lassen.
Robert Plato
Kapitel 2. Splinefunktionen
Zusammenfassung
Gegenstand des vorliegenden Kapitels ist die Interpolation von n + 1 gegebenen Punkten in der Ebene durch lineare beziehungsweise kubische Splinefunktionen. Diese sind wegen ihres gegenüber Polynomen geringeren oszillierenden Verhaltens von praktischer Relevanz. Die Themen Existenz, Eindeutigkeit, Berechnung und Fehlerdarstellungen werden ausführlich behandelt, wobei dafür für lineare beziehungsweise kubische Splines jeweils geeignete lokale Ansätze verwendet werden. Nichtäquidistante Gitter sind dabei zugelassen. Zur Sicherung der Eindeutigkeit bei kubischen Splinefunktionen werden natürliche, periodische und vollständige Randbedingungen betrachtet.
Robert Plato
Kapitel 3. Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen
Zusammenfassung
Gegenstand des vorliegenden Kapitels ist die diskrete Fouriertransformation. Es handelt sich dabei um eine spezielle lineare Abbildung im N-dimensionalen unitären Vektorraum CN mit Anwendungen zum Beispiel bei der Speicherung und Übertragung von Audio-, Bild- und Videosignalen. Nach Betrachtung der Orthogonalitätseigenschaft der Abbildung werden mathematische Anwendungen vorgestellt: reelle und komplexe trigonometrische Interpolation sowie der Zusammenhang mit komplexen Fourierkoeffizienten. Abschließend wird die schnelle Fourier-Transformation (FFT) detailliert behandelt inklusive der Bitumkehr.
Robert Plato
Kapitel 4. Lösung linearer Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Zunächst wird der Gauß-Algorithmus mit und ohne Pivotsuche zur Lösung linearer Gleichungssysteme Ax=b vorgestellt, gefolgt von LR- und Cholesky-Faktorisierung der Matrix A. Aufwandsfragen werden dabei ebenso diskutiert wie Bandstrukturen. Ein weiterer Abschnitt ist Normen gewidmet. Dabei wird auch die Stabilität von Gleichungssystemen gegenüber Störungen von b und A behandelt, wofür die Konditionszahl vorgestellt wird. Der letzte Abschnitt ist den Orthogonalisierungsverfahren zur Faktorisierung A = QS gewidmet mit einer nichtquadratischen Matrix A, einer orthogonalen Matrix Q und einer verallgemeinerten oberen Dreiecksmatrix S. Mit den Householdertransformationen wird ein Algorithmus zur Gewinnung einer solchen Faktorisierung vorgestellt. Hierfür werden als Anwendungen Ausgleichsprobleme sowie die stabile Lösung linearer Gleichungssysteme präsentiert.
Robert Plato
Kapitel 5. Iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Gegenstand des vorliegenden Kapitels ist die iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme. Ein zentraler Begriff ist dabei die Konvergenzordnung für Fixpunktiterationen, die zunächst eingeführt wird. Für den eindimensionalen Fall werden bei ausreichender Glattheit der zugrunde liegenden Fixpunktfunktion hinreichende und notwendige Kriterien für Konvergenzordnung hergeleitet und auf das eindimensionale Newton-Verfahren angewendet. Im mehrdimensionalen Fall werden anschließend der banachsche Fixpunktsatz vorgestellt und die quadratische Konvergenz des Newton-Verfahrens hergeleitet. Ein abschließender Abschnitt ist den speziellen Eigenschaften des Newton-Verfahrens zur Bestimmung von Nullstellen von Polynomen gewidmet.
Robert Plato
Kapitel 6. Numerische Integration von Funktionen
Zusammenfassung
Gegenstand des vorliegenden Kapitels ist die numerische Integration von Funktionen einer Veränderlichen. Zunächst werden die grundlegende Themen Genauigkeitsgrad und interpolatorische Quadraturformel sowie die abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln behandelt, ergänzt durch zahlreiche Beispiele. Ein weiterer Abschnitt ist der detaillierten Behandlung des Integrationsfehlers gewidmet, gefolgt von einem Abschnitt zum Thema Genauigkeitsgrad der abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln für eine ungerade Anzahl von Stützstellen. Anschließend werden noch summierte Quadraturformeln, Extrapolationsverfahren und gaußsche Quadraturformeln umfassend behandelt.
Robert Plato
Kapitel 7. Explizite Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen
Zusammenfassung
Gegenstand des vorliegenden Kapitels ist die numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungsysteme mittels Einschrittverfahren. Zunächst wird der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf vorgestellt. Anschließend werden die grundlegenden Themen Konsistenz- und Konvergenzordnung behandelt und der zentrale Konvergenzsatz dazu präsentiert. Es folgen einige Beispiele für Verfahren erster und zweiter Ordnung, gefolgt von dem klassischen Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung. Die vorgestellten theoretischen Resultate werden anschließend auf den Fall auftretender Rundungsfehler erweitert. Weitere Themen sind asymptotische Entwicklungen für die durch Einschrittverfahren gewonnenen Approximationen sowie Extrapolationsverfahren und Schrittweitensteuerungen.
Robert Plato
Kapitel 8. Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen
Zusammenfassung
Gegenstand dieses umfangreichsten Kapitels des Lehrbuchs ist die numerische Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungsysteme mit Hilfe von Mehrschrittverfahren. Zunächst werden die grundlegenden Begriffe Konsistenz- und Konvergenzordnung sowie Nullstabilität vorgestellt und das zentrale Konvergenzresultat für Mehrschrittverfahren inklusive aller Beweisdetails präsentiert. Es folgt eine ausführliche Behandlung spezieller Klassen linearer Mehrschrittverfahren wie Adams-, Nyström-, Milne-Simpson- und BDF-Verfahren. Prädiktor-Korrektor-Verfahren zur praktischen Realisierung impliziter Mehrschrittverfahren werden anschließend behandelt, gefolgt von einem längeren Abschnitt über Differenzenverfahren. Das Kapitel schließt mit einer kurzen Einführung zu steifen Differenzialgleichungen.
Robert Plato
Kapitel 9. Randwertprobleme bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen
Zusammenfassung
Gegenstand dieses Kapitels ist die numerische Lösung von Randwertproblemen für gewöhnliche Differenzialgleichungen zweiter Ordnung, wobei dies im Einzelnen Differenzen-, Galerkin- und Schießverfahren sind. Die Betrachtungen der beiden erstgenannten Methoden beschränken sich dabei zumeist auf sturm-liouvillesche Randwertprobleme. Für die Differenzenverfahren werden zunächst die notwendigen Differenzenapproximationen für Ableitungen erster und zweiter Ordnung präsentiert. Anschließend werden Konvergenzbetrachtungen durchgeführt, wobei hierzu einige Eigenschaften nichtnegativer Matrizen vorgestellt werden. Galerkinverfahren werden zunächst in einem allgemeinen Rahmen für lineare Operatoren in Vektorräumen und für allgemeine Bilinearformen eingeführt. Für das sturm-liouvillesche Randwertproblem werden dann noch konkrete Fehlerabschätzungen für Galerkinverfahren hergeleitet. Ein kurzer abschließender Abschnitt ist der Einführung von Einfachschießverfahren gewidmet.
Robert Plato
Kapitel 10. Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Bei der Lösung großer linearer und eventuell dünn besetzter Gleichungssysteme ist der Einsatz iterativer Verfahren effizienter als die Verwendung direkter Verfahren, zu denen z.B. der Gauß-Algorithmus gehört. Drei solcher Iterationsverfahren werden in diesem Kapitel vorgestellt: das Gesamtschritt-, das Einzelschritt- und die Relaxationsverfahren. Nach einigen allgemeinen Betrachtungen zu stationären Fixpunktiterationen werden für jedes der drei genannten Iterationsverfahren hinreichende Konvergenzkriterien hergeleitet, was auch die Frage der Konvergenzgeschwindigkeit einschließt. Hilfsmittel hierfür sind die Begriffe irreduzibel diagonaldominante Matrizen, konsistent geordnete Matrizen und M-Matrizen, die ebenfalls umfassend untersucht werden.
Robert Plato
Kapitel 11. Verfahren der konjugierten Gradienten und GMRES-Verfahren
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird zunächst das Verfahren der konjugierten Gradienten, kurz CG-Verfahren, zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix vorgestellt. Bei diesem Verfahren wird in jedem Schritt der Fehler bzw. die Energienorm über einen vom Iterationsschritt abhängigen Krylovraum minimiert, was sich tatsächlich auch iterativ realisieren lässt. Ein weiteres Thema ist die Konvergenzgeschwindigkeit, über die mithilfe von Tschebyscheff-Polynomen der ersten Art Aussagen getroffen werden können. Dabei ergibt sich eine höhere Konvergenzgeschwindigkeit als bei den im vorherigen Kapitel vorgestellten stationären Iterationsverfahren. Am Ende des Kapitels wird auf das GMRES-Verfahren eingegangen, das eine Verallgemeinerung des CG-Verfahrens auf nichtsymmetrische Probleme darstellt und mit Hilfe des Arnoldi-Prozesses realisiert werden kann.
Robert Plato
Kapitel 12. Eigenwertprobleme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird Störungs- und Lokalisierungstheorie für Eigenwerte von Matrizen behandelt. Zunächst werden Schranken für die Änderung der Menge der Eigenwerte angegeben, die aus einer Störung der zugrunde liegenden Matrix resultiert. Der anschließende Abschnitt stellt den Gerschgorin-Satz vor, mit dem sich die Lage der Eigenwerte einer gegebenen Matrix lokalisieren lässt. Ein weiteres Thema sind Variationsformulierungen für Eigenwerte symmetrischer Matrizen, mit denen weitere Störungsresultate hergeleitet werden.
Robert Plato
Kapitel 13. Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme
Zusammenfassung
Gegenstand dieses Kapitel ist die approximative Berechnung von Eigenwerten quadratischer Matrizen. Zunächst werden Householder-Ähnlichkeitstransformationen zur iterativen Gewinnung oberer Hessenbergmatrizen vorgestellt, deren Diagonaleinträge die gesuchten Eigenwerte immer besser annähern. Anschließend werden Givens-Rotationen eingeführt. Mit deren Hilfe lassen sich durch Ähnlichkeitstransformationen Matrizen erzeugen, deren Nichtdiagonaleinträge betragsmäßig immer kleiner werden, so dass deren Diagonaleinträge schließlich gute Approximationen an die gesuchten Eigenwerte darstellen. Außerdem wird noch das QR-Verfahren diskutiert, mit deren Hilfe sich durch Ähnlichkeitstransformationen eine Folge oberer Dreiecksmatrizen erzeugen lässt, deren Diagonaleinträge die zu bestimmenden Eigenwerte immer besser approximieren. Zum Schluss des Kapitels wird noch kurz auf die Klasse der Vektoriterationen eingegangen.
Robert Plato
Kapitel 14. Restglieddarstellung nach Peano
Zusammenfassung
Für ganz unterschiedliche Verfahren (zur Lösung auch ganz unterschiedlicher Problemstellungen wie etwa Interpolation sowie numerische Integration und Differenziation) existiert mit der Peano-Restglieddarstellung ein eleganter und einheitlicher Zugang zur Herleitung von Fehlerdarstellungen. Dieser Zugang, der zudem Verallgemeinerungen schon bekannter Fehlerdarstellungen für Funktionen mit geringeren Differenzierbarkeitseigenschaften ermöglicht, wird in dem vorliegenden Kapitel in Grundzügen vorgestellt.
Robert Plato
Kapitel 15. Approximationstheorie
Zusammenfassung
Eine wichtige Fragestellung der numerischen Mathematik ist es, bezüglich einer festgelegten Norm für ein gegebenes Element eines Vektorraums eine Bestapproximation, auch Proximum genannt, aus einer gegebenen nichtleeren Teilmenge dieses Vektorraums zu bestimmen sowie den auftretenden Fehler abzuschätzen. In dem vorliegenden Kapitel werden zunächst die Fragen Existenz und Eindeutigkeit des Proximums behandelt. Anschließend wird der Spezialfall einer durch ein Skalarprodukt induzierten Norm diskutiert, wobei hier auch die Berechnung eines Proximums thematisiert wird. Das nachfolgende Thema ist die gleichmäßige Approximation stetiger Funktionen durch Polynome mit vorgegebenem Höchstgrad. Hierzu wird der Alternantensatz präsentiert, der eine Charakterisierung von Proxima ermöglicht. Anschließend werden noch Verallgemeinerungen auf haarsche Räume vorgestellt.
Robert Plato
Kapitel 16. Rechnerarithmetik
Zusammenfassung
In dem vorliegenden Kapitel werden zunächst einige Grundlagen über die in Hard- und Software verwendeten reellen Zahlensysteme vorgestellt. Anschließend wird die Approximation reeller Zahlen durch Elemente solcher Zahlensysteme behandelt. Ein weiteres Thema bilden die arithmetischen Grundoperationen in diesen Zahlensystemen.
Robert Plato
Backmatter
Metadata
Title
Numerische Mathematik kompakt
Author
Prof. Dr. Robert Plato
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-64110-1
Print ISBN
978-3-662-64109-5
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64110-1

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