Numerische Methoden im CAD

Die Masse der Fachliteratur, die die mathematischen Methoden im CAD bereitstellt, geht wenig darauf ein, wie diese Verfahren sinnvoll zu implementieren sind. Mit dem vorliegenden Buch soll diese Lücke etwas geschlossen werden, indem Programme und Datenstrukturen, die sich in der Praxis bewährt haben. vorgestellt werden. Außerdem sollen dem Leser die numerischen Methoden der Freiformkurven durch Beispiele nähergebracht und Anregungen für deren Implementation gegeben werden. In der Struktur der vorgestellten Programme wurde viel Spielraum für eigene Ideen gelassen, sodaß der Leser mit den Verfahren experimentieren kann, ohne daß große Änderungen in der Software nötig sind.

Die Grundlage aller in diesem Buch benutzten Programme ist ein Prozedurpaket das die Erzeugung und Handhabung von Datenfeldern ermöglicht, deren Speicherplatz erst zur Laufzeit des Programmes angefordert wird. Diese Vorgehensweise gewährleistet daß das Programm wirklich nur soviel Speicherplatz belegt, wie benötigt wird. Von den in der CAD-Softwareentwicklung gebräuchlichen Programmiersprachen ermöglicht nur C eine solche Realisierung, ohne die Übertragbarkeit der Programme einzuschränken. Da die zu verarbeitenden Datenmengen im CAD oft differieren, ist dies ein wichtiger Vorteil dieser Implementation.

Eine der häufigsten Problemstellungen im CAD ist das Lösen von linearen Gleichungssystemen. Ein einfaches Beispiel für ein solches System sei hier angegeben: Diese Gleichungen faßt man sinnvollerweise in Matrizenschreibweise zusammen:

Polynome sind u.a. Funktionen folgender Gestalt: Darstellung 41 wird Monourform genannt, wobei der höchste vorkommende Exponent n der Variablen t Grad des Polynoms heißt. Die Polynome vom Grad ≤ n spannen bekanntlich einen Vektorraum der Dimension n+l auf, wobei in der Monourform die Polynome 1, t, t²,..., tⁿ die Basis bilden.

Wie schon im vorhergehenden Kapitel angedeutet worden ist, werden Polynome im CAD u. a. dazu verwandt, Freiformkurven zu beschreiben. Die monomische Darstellung (Formel 4.1) ist allerdings wenig dazu geeignet, weil die Koeffizienten a_i i. a. keine direkten Aussagen über die Gestalt und die Eigenschaften der durch sie bestimmten Kurve zulassen.