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13-12-2019 | Original Paper | Issue 4/2021

Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing 4/2021

On the algebraic structure of \(E_p^{(m)}\) and applications to cryptography

Journal:
Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing > Issue 4/2021
Authors:
Karan Khathuria, Giacomo Micheli, Violetta Weger
Important notes

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

In this paper we show that the \({\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}\)-module structure of the ring \(E_p^{(m)}\) is isomorphic to a \({\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}\)-submodule of the matrix ring over \({\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}\). Using this intrinsic structure of \(E_p^{(m)}\), solving a linear system over \(E_p^{(m)}\) becomes computationally equivalent to solving a linear system over \({\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}\). As an application we break the protocol based on the Diffie–Hellman decomposition problem and ElGamal decomposition problem over \(E_p^{(m)}\). Our algorithm terminates in a provable running time of \(O(m^{6})\) \({\mathbb {Z}}/p^{m}{\mathbb {Z}}\)-operations.

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