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01-06-2015 | Original Paper | Issue 3/2015

Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing 3/2015

On the arithmetic of the endomorphism ring \(\hbox {End}({\mathbb {Z}}_p[x]_{/\langle \overline{f}(x)\rangle }\times {\mathbb {Z}}_{p^2}[x]_{/\langle f(x)\rangle })\)

Journal:
Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing > Issue 3/2015
Authors:
Yun Gao, Yonglin Cao

Abstract

Let \(p\) be a prime number, \(f(x)\) a monic basic irreducible polynomial in \(\mathbb {Z}_{p^2}[x]\) and \(\overline{f}(x)=f(x)\) mod \(p\). Set \(F=\mathbb {Z}_p[x]_{/\langle \overline{f}(x)\rangle }\) and \(R=\mathbb {Z}_{p^2}[x]_{/\langle f(x)\rangle }\), and denote by \(\mathrm{End}(F\times R)\) the endomorphism ring of the \(R\)-module \(F\times R\). We identify the elements of \(\mathrm{End}(F\times R)\) with elements in a new set, denoted by \(E_{p,f}\), of matrices of size \(2\times 2\), whose elements in the first row belong to \(F\) and the elements in the second row belong to \(R\); also, using the arithmetic in \(F\) and \(R\), we introduce the arithmetic in \(E_{p,f}\) and prove that \(\mathrm{End}(F\times R)\) is isomorphic to the ring \(E_{p,f}\). Moreover, we introduce the characteristic polynomial for each element in \(E_{p,f}\) and consider its applications.

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