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2024 | OriginalPaper | Chapter

On the Divisibilities $P_{k}\mid P^{2}_{x}+P_{x}+1$, $Q_{k}\mid P^{2}_{x}+P_{x}+1$, and $P_{k}\mid Q^{2}_{x}+Q_{x}+1$

Authors : Souleymane Nansoko, Euloge Tchammou, Alain Togbé

Published in: Class Groups of Number Fields and Related Topics

Publisher: Springer Nature Singapore

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Abstract

Let $ P_{n} $, and $ Q_{n} $ be the $n\mathrm{{th}}$ Pell and Pell-Lucas numbers, respectively. In this paper, we prove that $P_{k}$ never divides neither $P^{2}_{x}+P_{x}+1$ nor $Q^{2}_{x}+Q_{x}+1$, for $k\ge 2$ and that $Q_{k}$ never divides $P^{2}_{x}+P_{x}+1$, for any nonnegative integer k and for any nonnegative integer x.

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Alaca, S., Williams, K.S.: Introductory Algebraic Number Theory. Cambridge University Press (2003)

Komatsu, T., Luca, F., Tachiya, Y.: On the multiplicative order of $ F_{N+1}\mid F_{n }$ modulo $F_{M}$ integers. Izv. Math. 12B ID, A8 (2012)

Luca, F., Pongsriiam, P., Szalay, L.: On the divisibility $F_{k}\mid F_{x}^{2}+F_{x}+1$. ScienceAsia 47, 106–110 (2021)

Tchammou, E., Togbé, A.: On the Diophantine equation $\displaystyle {\sum _{j=1}^{k}jP_j^p=P_n^q}$. Acta Math. Hungar. 162(2), 647–676 (2020)

Title: On the Divisibilities , , and
Authors: Souleymane Nansoko
Euloge Tchammou
Alain Togbé
Publisher: Springer Nature Singapore
Book: Class Groups of Number Fields and Related Topics
Print ISBN: 978-981-9769-10-0

Electronic ISBN: 978-981-9769-11-7

Copyright Year: 2024
DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-97-6911-7_10

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On the Divisibilities \(P_{k}\mid P^{2}_{x}+P_{x}+1\), \(Q_{k}\mid P^{2}_{x}+P_{x}+1\), and \(P_{k}\mid Q^{2}_{x}+Q_{x}+1\)

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