Optionsbewertung und Portfolio-Optimierung

Bevor wir uns mit den zeitstetigen Marktmodellen beschäftigen, wollen wir hier als Einführung ein einfaches Ein-Perioden-Modell betrachten. Der mathematische Startpunkt der Theorie der Portfolio-Optimierung war 1952 die Arbeit von H. Markowitz (1952) über den Erwartungswert-Varianz-Ansatz zur Beurteilung von Investmentstrategien an Wertpapiermärkten. Aufgrund seiner Einfachheit und Plausibilität wurde er schnell sehr populär in Theorie und Praxis und wird auch heute noch häufig angewendet. Verdientermaßen erhielt Markowitz 1990 zusammen mit zwei anderen Wissenschaftlern den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Allerdings liegen in der Einfachheit des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes auch erhebliche Nachteile, was später zwangsläufig zur Betrachtung zeitstetiger Modelle führte (siehe z.B. Merton (1969)). Das zugrunde liegende Modell ist ein sogenanntes Ein-Perioden-Modell, d.h. es werden zu Beginn der Periode Entscheidungen über Investmentstrategien getroffen, die hieraus folgenden Konsequenzen werden dann am Ende der Periode beobachtet, und dazwischen findet kein Eingriff in den Markt statt. Man nennt solche Modelle auch statische Modelle, weil nach dem Festlegen der Strategie nicht mehr gehandelt wird.

Wir betrachten einen Markt, auf dem d+1 Wertpapiere gehandelt werden. Darunter befinden sich d Aktien mit Preisen p ₁ , p ₂ , ..., p _d zur Zeit t=0 und zufälligen Preisen P₁(t),..., P _d (t) zur Zeit t, sowie ein risikoloses Wertpapier, genannt „Bond“ mit Preis p₀ zur Zeit t=0, und deterministischem Preis P₀(t) sonst. Das risikolose Wertpapier wird in seiner Modellierung eher einem Sparguthaben als einem Bond entsprechen (siehe unten), es wird aus historischen Gründen weiterhin von uns als Bond bezeichnet. Wir betrachten den endlichen Handlungszeitraum [0, T]. In unserem Modell sei jede beliebige Stückelung der Wertpapiere zulässig und es gebe keine Transaktionskosten bei Kauf bzw. Verkauf der Wertpapiere. Anders als im Ein-Perioden-Modell sei es nun möglich, zu jedem beliebigen Zeitpunkt in [0, T] zu handeln. Da uns diesmal nicht nur der Anfangs- und Endpreis der Wertpapiere interessiert, müssen wir uns näher mit den Preisverläufen beschäftigen, die wir im Folgenden möglichst realistisch modellieren wollen.

Die wichtigste Anwendung des Itô-Kalküls in der Finanzmathematik ist die der Optionsbewertung. Dabei ist das bekannteste Ergebnis die Black-Scholes-Formel für die Bewertung europäischer Call- und Put-Optionen. Dies wurde auch durch die Verleihung des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften an Robert Merton und Myron Scholes im Jahr 1997 für ihre Arbeiten zur Black-Scholes-Formel gewürdigt. Fischer Black lebte zu diesem Zeitpunkt bereits nicht mehr.

Innerhalb dieses Kapitels wollen wir einige Typen von Optionen vorstellen, die sich von einfachen Puts und Calls unterscheiden. Wir fassen sie unter dem Oberbegriff „exotische Optionen“ zusammen, den wir im Folgenden noch weiter unterteilen werden. Oft können wir bei diesen Optionen den Bewertungsprozess weder durch explizite Bestimmung des allgemeinen Erwartungswertes in Satz III.5 berechnen noch durch Lösen des zugehörigen Cauchy-Problems in analytisch geschlossener Form darstellen. Zur Berechnung der Preise solcher Optionen muss man dann effiziente numerische Verfahren entwickeln. Wir unterteilen dieses Kapitel deshalb in die Behandlung exotischer Optionen mit geschlossener Darstellung des Optionspreises und in die Präsentation einiger populärer numerischer Verfahren für exotische Optionen, bei denen keine geschlossene Darstellung des Optionspreises bekannt ist. Zum Nachweis der Konvergenz dieser Verfahren benötigen wir einige Grundlagen der Theorie der schwachen Konvergenz stochastischer Prozesse, die wir innerhalb dieses Kapitels als Exkurs bereitstellen werden.

Bisher haben wir im zeitstetigen Marktmodell Portfolios zusammengestellt, um ein gegebenes Auszahlungsprofil zu erzeugen (duplizieren) oder eine Mindestauszahlung bereitzustellen (Hedging-Strategie). Die Kosten der Duplikation bzw. der Hedging-Strategie bestimmten dann den Preis dieses Auszahlungsprofils. Nun aber wollen wir umgekehrt vorgehen und zu einem gegebenen festen Anfangskapital ein zulässiges, selbst-finanzierendes Paar aus Portfolio- und Konsumprozess suchen, das uns einen möglichst vorteilhaften Zahlungsstrom liefert. Eine ähnliche Aufgabe hatten wir uns schon ganz zu Beginn des Buches gestellt, nämlich im Ein-Perioden-Modell. Dort suchten wir unter anderem eine Portfoliozusammenstellung, die uns eine möglichst große Rendite des Portfolios liefert, Varianz aber unter einer bestimmten Schranke liegt. Diesmal wollen wir das Problem allgemeiner angehen und betrachten dazu das sogenannte Portfolio-problem.