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About this book

Dieses Buch bietet eine spannende Einführung in die polareuklidische Geometrie, eine noch kaum bekannte Erweiterung der klassischen Geometrie.

Die polareuklidische Geometrie setzt der Perspektive der unendlichfernen Peripherie bei der gewohnten euklidischen Betrachtung eine zweite entgegen, die sich auf einen Bezugspunkt, ein absolutes Zentrum stützt. Die beiden komplementären Raumbeschreibungen erweisen sich als dual zueinander im Sinne des Dualitätsprinzips der projektiven Geometrie, das auch in der polareuklidischen Geometrie gilt.

Beim Dualisieren der Begriffe und Sätze der euklidischen Geometrie lernen die Leserinnen und Leser überraschende neue Sachverhalte und bisher unbeachtete Verbindungen zwischen geometrischen Tatsachen kennen. Sie erwerben dabei ein erweitertes Raumverständnis und entdecken die Geometrie ganz neu. Ganz nebenher schulen sie ihr geometrisches Vorstellungsvermögen und ein bewegliches, konstruktives geometrisches Denken.

Die Darstellung setzt keine speziellen Fachkenntnisse voraus, alles wird auch für Laien verständlich erklärt und anhand von vielen Abbildungen und Anwendungsbeispielen erläutert. An die Stelle strenger mathematischer Beweise treten anschauliche Begründungen. Koordinaten, Formalismus und Abstraktion werden vermieden. Fachmathematiker finden im Text weiterführende Hinweise und im Anhang eine kurze Zusammenfassung der mathematischen Konstruktion.

Table of Contents

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
Dieses Buch erweitert die euklidische zur polareuklidischen Geometrie.
Die euklidische Geometrie beschreibt die geometrischen Verhältnisse aus der gleichsam „göttlichen“ Perspektive der „Peripherie des Raumes“. Tatsächlich betrachten wir die Dinge aber auch von einem Standpunkt mitten unter ihnen. Ein solcher „Beobachter“ fehlt der Schulgeometrie und diese bildet sein Erleben im Raum deshalb nicht ab.
Umgekehrt offenbart die Urform der Geometrie eine Symmetrie, die unserem Raumerleben fremd ist: das „Dualitätsprinzip“. Dieses Prinzip, welches beim üblichen Ausbau der Urform dann allerdings zerstört wird, setzt Punkte, Geraden und Ebenen in eine überraschende Beziehung zueinander, die wir in unseren bildhaften Vorstellungen nicht bestätigt finden.
Die polareuklidische Geometrie behebt diese Mängel: Sie spiegelt beide Aspekte unseres Raumerlebens wider und sie verschafft dem Dualitätsprinzip in der Geometrie, und auch für unsere sinnliche Erfahrung nachvollziehbar, wieder Geltung.
Immo Diener

Grundlagen

Frontmatter

Kapitel 2. Die euklidische Geometrie und die unendlichferne Ebene

Zusammenfassung
Die in diesem Buche vertretene Auffassung vom Raum beinhaltet zwei komplementäre Aspekte: den Blick aus dem Zentrum und die Sicht von der Peripherie her. Unter den Sinneserfahrungen entsprechen diesen Aspekten Erfahrungen beim Sehen und beim Tasten.
Aber die gewohnte Geometrie, die die Sicht aus der Peripherie wiedergibt, ist nicht makellos: An Beispielen wird demonstriert, dass sich einfache Metamorphosen in ihr nicht ohne Unterbrechung durchführen lassen und dass viele geometrische Aussagen durch Ausnahmen ergänzt werden müssen. Doch die euklidische Geometrie lässt sich „heilen“: Man kann sie durch ideelle Elemente so ergänzen, dass die Ausnahmen verschwinden und Metamorphosen im Gesamtraum ohne Unterbrechung ablaufen können. Der so „vervollständigte“ euklidische Raum ist ästhetisch befriedigender als der klassische und doch kann man darin arbeiten wie gewohnt.
Immo Diener

Kapitel 3. Das Dualitätsprinzip und die projektive Geometrie

Zusammenfassung
Wenn man die euklidische Geometrie, wie im 1. Kapitel besprochen, ergänzt und dann auf jegliches Messen von Abständen und Winkeln verzichtet, erhält man die projektive Geometrie. Sie ist eine Art Urgeometrie und der Hort des erwähnten „Dualitätsprinzips“. Dieses erstaunliche und höchst merkwürdige Prinzip besagt: Wenn man in einer wahren geometrischen Aussage die Begriffe „Punkt“ und „Ebene“ miteinander vertauscht und zusätzlich die Begriffe „schneiden“ und „verbinden“ und einige weitere, dann entsteht wieder eine wahre geometrische Aussage! Das widerspricht zunächst unseren bildhaften Vorstellungen. Dennoch ist nach diesem Prinzip eine solche Vertauschung immer möglich; bei jeder beliebigen Aussage der projektiven Geometrie. Das wird an einer Reihe von Beispielen ausführlich demonstriert.
Immo Diener

Kapitel 4. Die Idee der polareuklidischen Geometrie

Zusammenfassung
Das Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie aus dem 2. Kapitel gilt in der euklidischen Geometrie nicht. Aber man kann die euklidische aus der projektiven Geometrie heraus entwickeln und dabei so erweitern, dass es wieder Geltung erlangt. Dazu werden in der projektiven Geometrie eine „unendlichferne Ebene“ und ein „absoluter Mittelpunkt“ ausgezeichnet. Den euklidischen Grundbegriffen, welche sich implizit auf die unendlichferne Ebene beziehen, werden duale Begriffe gegenübergestellt, die sich auf den absoluten Mittelpunkt stützen. Schritt für Schritt und anhand von vielen Beispielen wird dann eine zur euklidischen in jeder Hinsicht duale Geometrie aufgebaut.
Beide zusammen bilden die polareuklidische Geometrie. In ihr kann jeder euklidischen Tatsache eine duale, auch mit euklidischen Begriffen formulierbare Tatsache gegenübergestellt werden. Und die neuentdeckten Verhältnisse lassen sich zudem an vertrauten Beobachtungen aus dem Alltag veranschaulichen.
Immo Diener

Kapitel 5. Einige Begriffe und Objekte der polareuklidischen Geometrie

Zusammenfassung
Was kann man mit den neuen Begriffen aus dem 3. Kapitel nun anfangen? Mit welchen Alltagserfahrungen korrespondieren sie und welche neuen Objekte bringt die polareuklidische Geometrie hervor? Wie dualisiert man in ihr die Sätze der euklidischen Geometrie? Was ist dual zu Mittelpunkt, Winkelhalbierender, Quadrat und Kreis? Wie dualisiert man den Satz des Thales, kurz: Wie treibt man polareuklidische Geometrie?
Es zeigt sich z. B.: Beim Dualisieren werden aus Sätzen über Kreise solche über Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln, welche auf diese Art in der Schule behandelt werden könnten.
Und weiter: Man kann in der polareuklidischen Geometrie frei zwischen verschiedenartigen Beschreibungen einer geometrischen Situation wechseln und sich durch wiederholtes Dualisieren zwischen verschiedenen Konfigurationen hin und her bewegen. Das schafft neue, spannende Möglichkeiten des Geometrisierens, die man aus der gewohnten Geometrie nicht kennt.
Immo Diener

Weiterer Aufbau

Frontmatter

Kapitel 6. Gestalt und Bewegung

Zusammenfassung
In unserem alltäglichen Erleben haben die meisten Dinge eine bestimmte Form. Dreht oder verschiebt man einen starren Körper im Raum, so ändert sich seine Form nicht, die Abstände und Winkel an ihm bleiben gleich. Ohne Formbegriff hätte es wenig Sinn, von Längen und Winkeln zu sprechen.
Dual zu den euklidischen Bewegungen gehören in der polareuklidischen Geometrie „duale Bewegungen“. Aus unserer gewohnten Perspektive gesehen, bewirken sie Metamorphosen, welche die Form eines Gegenstandes transformieren. Die Wirkung einer dualen Parallelverschiebung kann man etwa mit dem Öffnen einer Blüte in Verbindung bringen. Mathematisch lassen sich diese Transformationen leicht konstruieren, aber wie kann man sie anschaulich verstehen? Es stellt sich heraus, dass man die gewohnten und die neuen dualen Bewegungen mit Sinneserfahrungen beim Tasten und Sehen bildhaft in Verbindung bringen kann.
Immo Diener

Kapitel 7. Messen in der PEG

Zusammenfassung
In der euklidischen Geometrie misst man z. B. Abstände zwischen Punkten und Winkel zwischen Ebenen. Dual dazu misst man in der polareuklidischen Geometrie Abstände zwischen Ebenen und Winkel zwischen Punkten.
Die Größe des dualeuklidischen Winkels zwischen Punkten ist nichts anderes als die Größe des „Sehwinkels“, unter dem man die Punkte vom absoluten Mittelpunkt (in dem man sich ja auch selbst denken kann) sieht, also etwas durchaus Anschauliches und Bekanntes.
Der dualeuklidische Abstand zwischen Ebenen ist weniger vertraut, besitzt jedoch interessante Anwendungen. Beispielsweise ist für eine gegebene optische Linse, die ein scharfes Bild von einem Gegenstand wirft, der „d-Abstand“ zwischen Gegenstand und Bild immer gleich, wenn man den absoluten Mittelpunkt in die Linse legt. An vielen Beispielen wird deutlich, dass die Kenntnis der dualeuklidischen Maßbestimmungen uns erlaubt, alltägliche geometrische Phänomene besser zu verstehen.
Immo Diener

Kapitel 8. Ergänzungen, Aufgaben und Projekte

Zusammenfassung
Das letzte Kapitel enthält für ambitionierte Leser, die sich in die polareuklidische Geometrie weiter einleben wollen, Anregungen in Form von kleineren und größeren Aufgaben bis hin zu regelrechten Projekten. Die meisten dieser Aufgaben erfordern allerdings ein tieferes mathematisches Verständnis als der Rest des Buches.
Wie lassen sich bekannte Sätze der euklidischen Geometrie dualisieren? Was ist dual zur wallaceschen Geraden, zum Sekantensatz, zum Schmetterlingssatz oder zum Cosinussatz? Wie dualisiert man euklidische Begriffe bei Kegelschnitten, z. B. Parabel, Ellipse, Hyperbel, Brennpunkt, Leitgerade, Achse und Scheitel? Wie dualisiert man die Gärtnerkonstruktion bei der Ellipse? Und wie können dualeuklidische Konstruktionen bewerkstelligt werden, solange ein „dualeuklidischer Zirkel“, mit dem man dualeuklidische Kreise zeichnen kann, noch nicht erfunden ist?
Immo Diener

Kapitel 9. Nachwort

Zusammenfassung
Zum Abschluss dieser Einführung in die polareuklidische Geometrie wollen wir uns die Gesichtspunkte, das Vorgehen und das Ergebnis in diesem Buch noch einmal vergegenwärtigen und einige abschließende Erklärungen und weiterführende Hinweise geben.
Immo Diener

Anhang

Frontmatter

Kapitel 10. Für Mathematiker: Die Konstruktion der polareuklidischen Geometrie

Zusammenfassung
Vor ungefähr 200 Jahren wurde, nach ersten Vorahnungen schon im 17. Jahrhundert, die projektive Geometrie (PG) entdeckt. Etwas später im 19. Jahrhundert folgte dann die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien. Diese sind wie die euklidische und im Gegensatz zur projektiven Geometrie Maßgeometrien, d. h. in ihnen ist ein Abstands- und ein Winkelmaß definiert.
Immo Diener

Kapitel 11. Anmerkungen

Zusammenfassung
(S. 8) Intuitiv wird das Dualitätsprinzip der polareuklidischen Geometrie oft verwendet, ohne dass man sich dessen bewusst ist. So spricht man z. B. bei den platonischen Körpern von einer „kombinatorischen Dualität“, wenn die Anzahlen der Ecken, Kanten und Flächen eines Körpers gleich den Anzahlen der Flächen, Kanten und Ecken eines anderen sind (etwa beim Hexaeder und Oktaeder oder beim Dodekaeder und Ikosaeder). Diese Körper sind nicht nur „kombinatorisch dual“, sondern in der polareuklidischen Geometrie tatsächlich geometrisch dual. Man zeichnet z. B. Hexaeder und Oktaeder symmetrisch ineinander. Dann sind sie polareuklidisch dual, wenn man den Bezugspunkt in den gemeinsamen Mittelpunkt legt.
Immo Diener

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