Praktische Finanzmathematik

Zinsrechnung – Zinsanleihen – Zinsmodelle

Author: Karl Michael Ortmann

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Book Series : Studienbücher Wirtschaftsmathematik

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

About this book

In diesem einführenden Lehrbuch werden alle diejenigen Kenntnisse der Finanzmathematik vermittelt, die der Autor bei seinem Berufseinstieg in die Versicherungsbranche gerne gehabt hätte. Der Leser erhält konkret eine intuitive Einführung in die finanzmathematische Analyse von deterministischen Zahlungsströmen und von festverzinslichen Wertpapieren sowie in die stochastische Modellierung von Zinssätzen. Dadurch erlernt der Leser die wesentlichen Grundlagen zur weiterführenden Analyse von komplexen Finanzinstrumenten.Das Buch ist einerseits mathematisch stringent und andererseits praktisch anschaulich. Die Anwendungsbreite in der Praxis wird durch zahlreiche Beispiele und Abbildungen sowie 100 Aufgaben mit Lösungen aufgezeigt.

Frontmatter

1. Zinsrechnung

Zusammenfassung

Gegenstand der elementaren Finanzmathematik ist die Analyse des Wertes von Geld im Verlauf der Zeit. Entscheidend ist dabei die Feststellung, dass der Wert des Geldes sowohl von der nominellen Höhe als auch vom Zeitpunkt seiner Fälligkeit abhängt. Zwei Zahlungen sind dann und nur dann gleichwertig, wenn sie sich auf denselben Zeitpunkt beziehen und denselben Betrag haben. Dieser entscheidende Umstand wird durch das finanzmathematische Äquivalenzprinzip beschrieben, auf das wir besonders eingehen werden, weil es die Grundlage sämtlicher Berechnungen in der praktischen Finanzmathematik bildet.

Eine grundlegende Aufgabe in der elementaren Finanzmathematik ist es, Geldbeträge vergleichbar zu machen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällig sind. Die zeitliche Transformation von Kapital erfolgt dabei mit Hilfe des Kalküls der Zinsrechnung, die im ersten Abschnitt behandelt wird. Danach befassen wir uns mit der Analyse von regelmäßig wiederkehrenden Zahlungen im Rahmen der Rentenrechnung. Anschließend geht es dann in der Tilgungsrechnung um die Analyse von Kreditgeschäften. Im Zusammenhang mit der Investitionsrechnung werden wir schließlich quantitative Methoden vorstellen, die zur Beurteilung der Wirtschaftlichkeit von Investitionen geeignet sind.

Karl Michael Ortmann

2. Zinsanleihen

Zusammenfassung

Gegenstand dieses Kapitels ist die Bewertung, die Analyse und das Management von Zinsanleihen. Zunächst leiten wir im ersten Abschnitt verschiedene Formeln her, die zur Berechnung des Kurswerts einer beliebigen Zinsanleihe verwendet werden. Außerdem gehen wir auf die Besonderheiten der Preisbildung an der Börse ein.

Im zweiten Abschnitt widmen wir uns der Analyse des Zinsänderungsrisikos. Zu diesem Zweck diskutieren wir verschiedene Risikokennzahlen. In besonderem Maße gehen wir dabei auf die sogenannte Duration ein. Sie eignet sich insbesondere dazu, den Kurswert bei einer sofortigen Zinsänderung näherungsweise zu berechnen. In diesem Zusammenhang präsentieren wir zwei Approximationsformeln.

Zu guter Letzt gehen wir im dritten Abschnitt auf das Management von Zinsanleihen ein. Dabei soll das Zinsänderungsrisiko im Hinblick auf die Vermögensbildung aus Zinsanleihen weitergehend begrenzt werden. In diesem Rahmen stellen wir verschiedene Anlagetechniken vor, die insbesondere in der Versicherungsbranche ihre praktische Anwendung finden.

Karl Michael Ortmann

3. Zinsmodelle

Zusammenfassung

Gegenstand dieses Kapitels ist deshalb zunächst die Verallgemeinerung der Zinsrechnung auf laufzeitabhängige Zinssätze. Dazu führen wir eine Reihe von Begriffen und Konzepten ein. Insbesondere gehen wir darauf ein, wie die genannten Zinssätze aus Marktdaten hergeleitet werden können. In diesem Zusammenhang spielt das Arbitrageprinzip eine wesentliche Rolle. Außerdem verallgemeinern wir das Konzept der Duration, mit deren Hilfe es möglich ist, die Auswirkung einer beliebigen Änderung der Zinsstruktur auf den Barwert eines gegebenen Zahlungsstroms zu approximieren.

Im zweiten Teil dieses Kapitels beschäftigen wir uns mit der Tatsache, dass sich Zinssätze zufällig ändern. Dazu stellen wir einige Prognosetechniken vor, die in der Praxis verwendet werden, um die zukünftige Struktur der laufzeitabhängigen Zinssätze zu modellieren. Eine tiefgehende Analyse stochastischer Zinsmodelle liegt jedoch außerhalb des Rahmens dieser einführenden Lektüre. Deterministische und stochastische Szenarienanalysen bilden die Grundlage unserer Überlegungen. Daran schließen sich einfache Verteilungsmodelle an. Darüber hinaus geben wir eine knapp gehaltene Einführung in stochastische Differentialgleichungen und skizzieren zwei Gleichgewichtsmodelle: das Vasicek-Modell sowie das Cox-Ingersoll-Ross-Modell. Zu guter Letzt diskutieren wir Binomialbäume und stellen die Grundzüge zweier Arbitragemodelle vor: das Ho-Lee-Modell und das Hull-White-Modell.

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4. Lösungen

Zusammenfassung

Im Folgenden sind die Ergebnisse der Übungsaufgaben aufgeführt. Was den jeweiligen Lösungsweg betrifft, so beschränken wir uns aus Platzgründen auf den Lösungsansatz, der zumeist die größte Hürde beim Bearbeiten von finanzmathematischen Aufgaben aus der Praxis darstellt. Äquivalente Umformungen lassen wir in den meisten Fällen gänzlich weg, auch wenn sie im Einzelfall wohlmöglich nicht trivial sind. Der Leser sei dazu ermuntert, den nötigen Aufwand in das Nachvollziehen der vollständigen Lösung zu investieren. Es lohnt sich mit Sicherheit, den kompletten Rechenweg mit eigenen Gedanken nachzuvollziehen.

Üblicherweise geben wir Eurobeträge und Prozentzahlen mit zwei Nachkommastellen an. Dabei wird die letzte Stelle kaufmännisch gerundet. Für gewisse Kennzahlen ist mitunter eine größere Genauigkeit nötig. Wenn Zwischenergebnisse gerundet angegeben werden, so wird das Endergebnis dennoch auf der Grundlage ungerundeter Zwischenwerte berechnet. Insofern mag so manches Ergebnis einen scheinbaren Rundungsfehler aufweisen.

Karl Michael Ortmann

Backmatter

Title: Praktische Finanzmathematik
Author: Karl Michael Ortmann
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Electronic ISBN: 978-3-658-13834-9
Print ISBN: 978-3-658-13833-2
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-13834-9

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Table of Contents

Frontmatter

1. Zinsrechnung

2. Zinsanleihen

3. Zinsmodelle

4. Lösungen

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