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Published in:
2015 | OriginalPaper | Chapter
4. Primzahlen – Bausteine der natürlichen Zahlen
Authors : Friedhelm Padberg, Andreas Büchter
Published in: Vertiefung Mathematik Primarstufe — Arithmetik/Zahlentheorie
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Oft gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, gegebene natürliche Zahlen als Produkte von zwei, drei oder mehr natürlichen Zahlen zu schreiben. Beim übersichtlichen Aufschreiben verschiedener multiplikativer Zerlegungen sind Zerlegungsbäume sehr informativ und hilfreich. Durch den Vergleich verschiedener Zerlegungsbäume einer fest vorgegebenen Zahl sowie durch weitere Argumente problematisieren wir im weiteren Verlauf des ersten Abschnitts dieses Kapitels die Frage, ob wir bei allen multiplikativen Zerlegungen einer festen Zahl – trotz der unterschiedlichen Zwischenergebnisse und des z. T. äußerlich völlig verschiedenen „Aussehens“ der Zerlegungsbäume – stets zu derselben Primfaktorzerlegung gelangen.
Mithilfe des kleinsten, von 1 verschiedenen Teilers können wir zu jeder natürlichen Zahl größer als 1 mindestens eine Primfaktorzerlegung gewinnen, wie wir im zweiten Abschnitt beweisen. Dass diese sogar bei jeder natürlichen Zahl a > 1 bis auf die Reihenfolge der Faktoren stets die einzige Primfaktorzerlegung ist und damit die natürlichen Zahlen a > 1 stets nur genau eine Primfaktorzerlegung besitzen, ist die Aussage des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie. Wir können dem Hauptsatz insbesondere auch entnehmen, dass die Primzahlen multiplikative Bausteine der natürlichen Zahlen sind, dass also alle natürlichen Zahlen (größer 1) entweder selbst Primzahlen sind oder sich – bis auf die Reihenfolge der Faktoren – als eindeutiges Produkt von Primzahlen darstellen lassen.