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Frontmatter

Einleitung/Problemstellung

1. Einleitung/Problemstellung

Zusammenfassung
Seit 1978 ist ein neues Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie entstanden — die Prophetentheorie. Diese Theorie beschäftigt sich mit Situationen von der folgenden Art: Zwei Akteure — der Statistiker und der „Prophet“ — beobachten eine Folge X1, X2, ... von Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,5, P). Der Statistiker kann zu jedem Zeitpunkt i entscheiden, ob er die beobachtete Zufallsgröße X i als „Auszahlung“ akzeptieren will oder nicht; auf eine einmal abgelehnte Auszahlung kann er nicht mehr zurückgreifen. Bei seiner Entscheidung über die Annahme/Ablehnung der Auszahlung X i darf er durchaus alle bisher beobachteten X1,..., X1 berücksichtigen — d.h. er kann die Informationen aus der Vergangenheit nutzen —, nicht jedoch die zukünftigen Werte.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

Reduktion der Strategienmenge des Propheten

2. Reduktion der Strategienmenge des Propheten

Zusammenfassung
Ziel des Propheten ist es, durch die Wahl einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung PV zu erreichen, daß seine Auszahlung bzw. sein „Garantiewert“ inf Τ∈τ(P,τ) möglichst groß wird. Es ist daher naheliegend, nach (möglichst kleinen) Teilklassen P∼ ⊂ P zu suchen, auf die sich der Prophet ohne Nachteile beschränken kann.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

Der allgemeine Fall

3. Martingale

Zusammenfassung
Die Reduktion auf Supermartingale (s. § 2 b)) kann insbesondere in dem Fall angewendet werden, daß beliebige stochastische Abhängigkeiten bei den vom Propheten wählbaren Zufallsgrößen/Verteilungen vorliegen dürfen (allgemeiner Fall). Daher liegt es nahe, als erstes den Supermartingal-/Martingalfall zu untersuchen. In Hinblick auf das Beispiel (1.3) werden wir uns dabei zunächst auf [0;1]-wertige Zufallsgrößen beschränken.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

4. Allgemeine stochastische Prozesse

Zusammenfassung
Aufgrund der in § 2b) dargestellten Möglichkeit der Reduktion auf Supermartingale sind mit den Ergebnissen des § 3 die entscheidenden Hilfsmittel zur Behandlung des allgemeinen Falles, d.h. stochastischer Prozesse mit beliebigen Abhängigkeiten, bereitgestellt.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

Der unabhängige Fall

5. Folgen von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen

Zusammenfassung
Während wir in Abschnitt 4 stochastische Prozesse mit beliebigen Abhängigkeiten untersuchten, wollen wir nunmehr den Fall behandeln, daß der Prophet nur Folgen von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen wählen darf, wobei er jedoch weiterhin die Verteilungen von Schritt zu Schritt verändern kann (unabhängiger Fall).
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

6. Zeitlich bewertete Auszahlungen im unabhängigen Fall17

Zusammenfassung
Bereits in Abschnitt 3d) wurde angemerkt, daß es in manchen Problemstellungen sinnvoll erscheint, frühe Auszahlungen (z.B. durch die Berücksichtigung eines Diskontierungsfaktors) höher zu bewerten als späte. Diese Situation wollen wir im folgenden allgemeiner untersuchen, d.h. wir betrachten allgemeinere zeitliche Bewertungen.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

Unabhängige Versuchswiederholungen (der iid-Fall)

7. Folgen von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen

Zusammenfassung
Im Anschluß an den unabhängigen Fall liegt es nahe, die Strategienmenge des Propheten noch weiter auf Folgen von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen einzuschränken (iid-Fall). Während dieser Fall für wahrscheinlichkeitstheoretische Untersuchungen (z.B. Gesetze der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz, Satz vom iterierten Logarithmus) häufig besonders einfach ist, verkompliziert die zusätzliche Bedingung der identischen Verteilung die Prophetentheorie ganz erheblich; insbesondere hat man nicht mehr so weitreichende Reduktionsmöglichkeiten wie in den vorherigen Kapiteln.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

8. Zeitlich bewertete Auszahlungen im iid-Fall

Zusammenfassung
Im folgenden betrachten wir ausschließlich konstante Diskontierungen und lineare Beobachtungskosten. Obwohl in beiden Fällen ähnlich zu Satz (7.2) eine Reduktion auf endliche diskrete Verteilungen möglich ist (siehe Satz (8.8) für diskontierte Auszahlungen), bereitet es enorme Schwierigkeiten, Ergebnisse für den endlichen Horizont herzuleiten. Während man den Wert des Statistikers wiederum anhand der Einzelwahrscheinlichkeiten berechnen könnte, ist die Bestimmung der erwarteten Auszahlung des Propheten nur in Ausnahmefällen möglich. Hingegen gelingt eine solche Berechnung in dem in b) behandelten Fall der Enddiskontierung beim Propheten.
Friedrich Harten, Andreas Meyerthole, Norbert Schmitz

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