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2022 | Book

Matrizen Read chapter Read first chapter

Prüfungstraining Lineare Algebra

Band I: Matrizen, Determinanten, Lineare Gleichungssysteme, Vektorräume, Lineare Abbildungen, Eigenwerte und Eigenvektoren

Authors: Thomas C.T. Michaels, Marcel Liechti

Publisher: Springer International Publishing

Book Series : Grundstudium Mathematik

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Trainingsbuch ist das ideale Begleitbuch für alle Bachelorstudierenden im Fach Mathematik und für die Grundlagenvorlesungen in ingenieur-, natur- und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen. Es ist speziell geeignet zur Vorbereitung auf Assessmentprüfungen und Basisprüfungen im Themenbereich Lineare Algebra.

In Band I werden die folgenden zentralen Themen behandelt:

Matrizen, DeterminantenLineare GleichungssystemeVektorräumeLineare AbbildungenEigenwerte und Eigenvektoren

Der Stoff wird nicht in der klassischen Lehrbuch-Struktur von Definition, Satz und Beweis präsentiert, sondern kann anhand von mehr als 600 Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden erlernt und trainiert werden. Alle Übungen werden Schritt für Schritt durchgerechnet, der Lösungsweg wird verständlich erklärt und es werden viele Rechentipps gezeigt. Dabei wird ein breites Spektrum von typischen (Prüfungs-)Aufgabentypen berücksichtigt. Am Ende geben 150 Multiple-Choice Testfragen und 4 konkrete Musterprüfungen, mit ausführlichen Lösungen, dem Leser die Möglichkeit sein Wissen final zu testen und dadurch den Stoff zu festigen.

Table of Contents

Frontmatter

Grundlagen: Matrizen und lineare Gleichungssysteme

Frontmatter
Kapitel 1. Matrizen
Zusammenfassung
Bevor wir mit der eigentlichen linearen Algebra loslegen, wollen wir in diesem ersten Kapitel kompakt, quasi als Vokabular, die wichtigsten Tatsachen über Matrizen festhalten.
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 2. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
In diesem Kapitel diskutieren wir eine zentrale Anwendung von Matrizen auf die Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS).
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 3. Determinanten
Zusammenfassung
In diesem Kapitel studieren wir sogenannte Determinaten. Die Determinante ist eine Zahl, welche man jeder quadratischer Matrix eindeutig zuordnen kann und eine zentrale Rolle in der linearen Algebra spielt.
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 4. LR-Zerlegung
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti

Vektorräume

Frontmatter
Kapitel 5. Vektorräume und Unterräume
Zusammenfassung
In diesem Kapitel legen wir jetzt los, uns mit der linearen Algebra zu befassen. Zuerst verallgemeinern wir das Vektorkonzept auf allgemeine mathematische Objekte, wie Matrizen, Polynome oder Funktionen. Dies geschieht durch sogenannte Vektorräume. Ein Vektorraum ist grundsätzlich eine Verallgemeinerung oder Erweiterung von \(\mathbb {R}^n\) (oder \(\mathbb {K}^n\)), wobei gewisse Axiome erfüllt werden müssen. Sind diese Axiome erfüllt, so können wir unsere erweiterten mathematischen Objekte (Matrizen, Polynomen oder Funktionen) als „verallgemeinerte Vektoren“ betrachten. Diese Identifizierung ist nicht einfach ein theoretisches Konstrukt. Damit können wir tatsächlich komplexe Probleme der Mathematik, welche Matrizen, Polynome oder Funktionen beinhalten, viel einfacher lösen, indem wir das jeweilige Problem mittels Vektoren im \(\mathbb {R}^n\) (oder \(\mathbb {K}^n\)) betrachten.
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 6. Vektorraumstruktur: Basis, Dimension und Koordinaten
Zusammenfassung
Im letzten Kapitel haben wir die Begriffe „Vektorraum“ und „Unterraum“ eingeführt und diese anhand von mehreren Beispielen eingeübt. Wir wollen uns jetzt mit der Struktur dieser Vektorräume (oder Unterräume) beschäftigen. Grundsätzlich geht es darum, die folgenden wichtigen Fragen zu beantworten:
  • Wie „gross“ ist ein vorgelegter Vektorraum?
  • Wie sieht ein beliebiges Element aus einem solchen Vektorraum aus?
Diese Fragen kann man mit zentralen Begriffen wie Basis, Dimension und Koordinaten treffend beantworten.
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti

Lineare Abbildungen

Frontmatter
Kapitel 7. Lineare Abbildungen I: Definition und Matrixdarstellung
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem zentralen Thema der linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen.
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 8. Lineare Abbildungen II: Kern, Bild und Basiswechsel
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 9. Eigenwerte und Eigenvektoren
Zusammenfassung
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns nur mit quadratischen Matrizen \(\boldsymbol {A}\in \mathbb {K}^{n\times n}\).
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Kapitel 10. Prüfungstrainer
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird umfangsreiches Übungsmaterial zum Eintrainieren des erworbenen Wissens zur Verfügung gestellt. Es beinhaltet 150 (ohne sich) Multiple-Choice-Fragen sowie 4 Musterprüfungen mit steigendem Schwierigkeitsgrad. Detaillierte Lösungen zu allen Aufgaben und Prüfungen finden Sie unten im Lösungsteil.
Thomas C. T. Michaels, Marcel Liechti
Backmatter
Metadata
Title
Prüfungstraining Lineare Algebra
Authors
Thomas C.T. Michaels
Marcel Liechti
Copyright Year
2022
Electronic ISBN
978-3-030-65886-1
Print ISBN
978-3-030-65885-4
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-65886-1

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