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2017 | OriginalPaper | Chapter

7. Realoptionen

Author : Enzo Mondello

Published in: Aktienbewertung

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Realoptionen entstehen aufgrund der unternehmerischen Flexibilität und stellen Entscheidungsspielräume dar, die aus Investitionsprojekten hervorgehen. So reagiert das Management auf Veränderungen der wirtschaftlichen Rahmenbedingungen, indem es Pläne und Strategien anpasst. Beispielsweise kann das Management bei erfolgreichen Projekten entscheiden, Erweiterungsinvestitionen zu tätigen oder nicht wirtschaftliche Projekte zurückzufahren bzw. aufzugeben. Solche Entscheidungsmöglichkeiten bzw. reale Optionen können in verschiedenen Formen auftreten und einen wesentlichen Einfluss auf den Unternehmenswert haben. Realoptionen erfassen die Dynamik eines aktiv agierenden und reagierenden Managements, die in traditionellen Cashflow-Modellen bzw. im Barwert der erwarteten frei verfügbaren Cashflows nicht explizit berücksichtigt wird. Sie verkörpern den zusätzlichen Wert, der aus der Flexibilität der Investitionsentscheidungen entsteht.

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In einem Free-Cash-Flow-Modell können Realoptionen teilweise über höhere Wachstumsraten erfasst werden.

Vgl. Abschn. 4.2.5.2.

Die Bewertung von Realoptionen wurde erstmals von Myers (1977) in einem Aufsatz beschrieben. Vgl. Myers 1977: Determinants of Corporate Borrowing, S. 147 ff.

Eine Call-Option stellt ein Kaufrecht dar. Die Kaufoption gibt dem Besitzer das Recht, aber nicht die Verpflichtung, einen bestimmten Basiswert (z. B. eine Aktie) während eines vordefinierten Zeitraums oder Zeitpunkts zu einem bestimmten Preis zu kaufen.

Der Zusammenhang zwischen der Laufzeit der Option und dem Optionswert ist nur bei amerikanischen Optionen positiv. Bei europäischen Optionen hingegen kann dieser Zusammenhang positiv oder negativ sein. Vgl. Abschn. 7.4.1 über die Risikofaktoren.

Mit dem Entscheidungsbaummodell können die sequentiellen Flexibilitätsentscheidungen in einem Baum abgebildet werden. Der Entscheidungsbaum zeigt visuell die Entscheidungspunkte und die Unsicherheit, wobei jedem Entscheidungspunkt ein NBW zugeordnet wird. Diese Methode unterscheidet sich nicht grundsätzlich von der oben beschriebenen Nettobarwertmethode mit Einbezug der Option. In beiden Modellen wird die Entscheidung in der Zukunft und nicht heute getroffen, wobei das Entscheidungsbaummodell bei mehreren Entscheidungsmöglichkeiten übersichtlicher ist (kann aber auch sehr schnell komplex und unübersichtlich werden). Daher wird die Entscheidungsbaumanalyse auch nicht näher vorgestellt. Beide Modelle stellen eine Alternative zur Optionspreistheorie dar. Allerdings ist die Optionspreistheorie konzeptionell solider und ermöglicht eine vollständigere Werterfassung der Flexibilität bei Investitionsprojekten.

Wird der Call ausgeübt, kann man eine Aktie zum Ausübungspreis von EUR 100 kaufen, die auf dem Markt zu einem Kurs von EUR 108 gehandelt wird. Das führt zu einem Gewinn von EUR 8, der dem inneren Wert der Option entspricht.

Vgl. z. B. Amram und Kulatilaka 1999: Real Options: Managing Strategic Investment in an Uncertain World, S. 99 ff.

Vgl. Abschn. 2.4 über das Risiko von Aktien.

Für die verschiedenen Verfahren zur Bestimmung der Volatilität bei Realoptionen vgl. Abschn. 7.6.4.

Vgl. Yeo und Qiu 2003: The Value of Management Flexibility – a Real Option Approach to Investment Evaluation, S. 246 ff.

Für die Optionsbewertung mit dem Binomialmodell vgl. Abschn. 7.4.3.

Im Unterschied zum Binomialmodell unterstellt das Black/Scholes-Modell, dass die Aktienpreise einem stetigen Zufallspfad folgen (zeitkontinuierlich und nicht zeitdiskret), was die Preisverläufe realitätsnäher abbildet.

Vgl. Black und Scholes 1972: The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency, S. 399 ff., und Black und Scholes 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, S. 640.

Wird die Gleichung nach $\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\mathrm{P}$ aufgelöst, erhält man die sogenannte Black/Scholes/Merton-Differentialgleichung:

$$\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\mathrm{P}=\dfrac{{\text{dP}}}{{\text{dt}}}+\mathrm{r}_{\mathrm{F}}\mathrm{S}\dfrac{{\text{dP}}}{{\text{dS}}}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\mathrm{d}^{2}\mathrm{P}}{{\text{dS}}^{2}}\upsigma^{2}\,\mathrm{S}^{2}\;.$$

Die Gleichung zeigt, dass man mit einem deltaneutralen Portfolio (bestehend aus einer Short-Option und einer deltagewichteten Long-Aktienposition) den risikolosen Zinssatz erzielt. Allerdings ist diese Position nur über eine infinitesimale kurze Zeitperiode risikolos. Die Preisbewegungen des Basiswerts werden mit der geometrischen brownschen Bewegung (bzw. dem Wiener Prozess) modelliert. Für die Herleitung des Black/Scholes-Modells vgl. Black und Scholes 1973: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, S. 642 ff.

$\mathrm{N}(\mathrm{d}_{1})=0{,}5+0{,}0987=0{,}5987$ und $\mathrm{N}(\mathrm{d}_{2})=0{,}5-0{,}3159=0{,}1841$.

Im Beispiel werden die Standardnormalvariablen d₁ und d₂ auf zwei Dezimalstellen gerundet, um die Flächeninhalte unter der Dichtefunktion $\mathrm{N}(\mathrm{d}_{1})$ von 0,5987 und $\mathrm{N}(\mathrm{d}_{2})$ von 0,1841 zu bestimmen. Genauere Werte für $\mathrm{N}(\mathrm{d}_{1})$ von 0,5973 und $\mathrm{N}(\mathrm{d}_{2})$ von 0,1851 können beispielsweise anhand der Funktion von Microsoft Excel „STANDNORMVERT“ ermittelt werden. Mit den genaueren Werten aus Microsoft Excel liegt der Call-Preis bei EUR 10,69 Mio. anstatt bei EUR 10,78 Mio.

NBW in zwei Jahren $={\text{EUR}}\ 10{,}92{\,\text{Mio.}}/(\mathrm{e}^{0{,}18}-1)-{\text{EUR}}\ 50{\,\text{Mio.}}={\text{EUR}}\ 5{,}370{\,\text{Mio.}}$ und NBW des Gesamtprojekts $=-{\text{EUR}}\ 10{\,\text{Mio.}}+0{,}65\times({\text{EUR}}\ 5{,}370{\,\text{Mio.}}/\mathrm{e}^{2\times 0{,}18})+0{,}35\times{\text{EUR}}\ 0=-{\text{EUR}}\ 7{,}565{\,\text{Mio.}}$

Für die Analyse und Bewertung mehrerer sich gegenseitig beeinflussender Optionen vgl. z. B. Trigeorgis 1991: A Log-Transformed Binomial Numerical Analysis Method for Valuing Complex Multi-Option Investments, S. 309 ff., Trigeorgis 1993: The Nature of Option Interactions and the Valuation of Investments with Multiple Real Options, S. 1 ff., und Trigeorgis 1993: Real Options and Interactions with Financial Flexibility, S. 202 ff.

Konstruiert man mit einer Aktienposition und einer Call-Option eine deltaneutrale Position, so erzielt man den risikolosen Zinssatz bzw. ergibt sich eine risikolose Anleiheposition. Also gilt folgender Zusammenhang: risikolose Long-Anleihe = Long-Aktie + Short-Call. Wird diese Gleichung nach dem Long-Call aufgelöst, erhält man die Long-Aktienposition und die risikolose Short-Anleiheposition bzw. den Kredit zum risikolosen Zinssatz. Demnach wird der Optionspreis im Binomialmodell (wie auch im Black/Scholes-Modell) über ein Replikationsportfolio hergeleitet.

Die erwartete Rendite der Aktie in einer risikoneutralen Welt entspricht dem risikolosen Zinssatz r_F. Der erwartete Aktienpreis nach Ablauf einer Periode ($\Updelta\mathrm{t}$) ist $\mathrm{S}_{0}(1+\mathrm{r}_{\mathrm{F}})^{\Updelta\mathrm{t}}$ und entspricht der Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Aktienpreise am Ende der Periode, die wie folgt gegeben ist: $\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S}_{0}\mathrm{u}+(1-\uppi_{\mathrm{u}})\mathrm{S}_{0}\mathrm{d}$. Wird die folgende Gleichung nach der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung ($\uppi_{\mathrm{u}}$) aufgelöst, erhält man bei $\Updelta\mathrm{t}=1$ (7.9): $\mathrm{S}_{0}(1+\mathrm{r}_{\mathrm{F}})^{\Updelta\mathrm{t}}=\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S}_{0}\mathrm{u}+(1-\uppi_{\mathrm{u}})\mathrm{S}_{0}\mathrm{d}$.

Alternativ lässt sich der Call-Preis bestimmen, indem die wahrscheinlichkeitsgewichteten Call-Preise bei Fälligkeit auf den Bewertungszeitpunkt diskontiert werden: $\mathrm{c}_{0}=(\uppi_{\mathrm{u}}^{2}\mathrm{c}_{{\text{uu}}}+2\uppi_{\mathrm{u}}\uppi_{\mathrm{d}}\mathrm{c}_{{\text{ud}}}+\uppi_{\mathrm{d}}^{2}\mathrm{c}_{{\text{dd}}})/(1+\mathrm{r}_{\mathrm{F}})^{2}=((0{,}52)^{2}\times{\text{EUR}}\ 62{,}50+2\times 0{,}52\times 0{,}48\times{\text{EUR}}\ 0+(0{,}48)^{2}\times{\text{EUR}}\ 0)/(1{,}02)^{2}={\text{EUR}}\ 16{,}24.$

Für die Berechnung der annualisierten Standardabweichung der stetigen Aktienpreisrenditen vgl. Abschn. 2.4 über das Risiko von Aktien.

Vgl. Cox et al. 1979: Option Pricing: A Simplified Approach, S. 249.

Die erwartete Aktienrendite besteht aus der Kapital- und der Dividendenrendite. Zieht man von der Renditeerwartung – also dem risikolosen Zinssatz – die Dividendenrendite ab, erhält man die Kapitalrendite. Der erwartete Aktienpreis nach Ablauf einer Periode ($\Updelta\mathrm{t}$) ist $\mathrm{S}_{0}\mathrm{e}^{\left({\mathrm{r}_{\mathrm{F}}-\mathrm{q}}\right)\Updelta\mathrm{t}}$ und entspricht der Summe der wahrscheinlichkeitsgewichteten Aktienpreise am Ende der Periode, die wie folgt gegeben ist: $\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S}_{0}\mathrm{u}+(1-\uppi_{\mathrm{u}})\mathrm{S}_{0}\mathrm{d}$. Wird die folgende Gleichung $\mathrm{S}_{0}\mathrm{e}^{\left({\mathrm{r}_{\mathrm{F}}-\mathrm{q}}\right)\Updelta\mathrm{t}}=\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{S}_{0}\mathrm{u}+(1-\uppi_{\mathrm{u}})\mathrm{S}_{0}\mathrm{d}$ nach der risikoneutralen Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung ($\uppi_{\mathrm{u}}$) aufgelöst, erhält man (7.14).

Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 406.

Beim Investitionsprojekt ohne Option wird der Projektkostensatz eingesetzt, um den Barwert der erwarteten Cashflows zu bestimmen. Verändert sich infolge der Realoption das Risikoprofil des Investitionsprojekts in jedem Knotenpunkt des Binomialbaums, ist der Projektkostensatz ebenfalls dem neuen Risiko anzupassen. Erfolgt keine Adjustierung des Projektkostensatzes, gelangt man zu einem falschen Nettobarwert für das Investitionsprojekt. Bei der Optionspreistheorie wird der Optionswert mit risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten und dem risikolosen Zinssatz ermittelt. Eine Anpassung des Projektkostensatzes ist mit der Optionspreistheorie nicht mehr erforderlich.

Mauboussin (1999) hat die folgenden Realoptionen für Amazon.com identifiziert: Erweiterungsoptionen in verschiedene Produktlinien, Kapazitätserweiterungsoptionen, Lernoptionen durch Akquisitionen und Joint Ventures und Kapitalbeteiligungsoptionen wie etwa Beteiligungen bei anderen Unternehmen mit Realoptionen. Vgl. Mauboussin 1999: Get Real: Using Real Options in Security Analysis, S. 18 ff.

Vgl. Kellogg und Charnes 2000: Real-Options Valuation for a Biotechnology Company, S. 76 ff.

Vgl. Chance und Peterson 2013: Real Options and Investment Valuation, S. 525.

Vgl. Paddock et al. 1988: Option Valuation of Claims on Real Assets: The Case of Offshore Petroleum Leases, S. 488.

Vgl. Pickles und Smith 1993: Petroleum Property Valuation: A Binomial Lattice Implementation of Option Pricing Theory, S. 16 ff.

Vgl. Damodaran 2012: Investment Valuation: Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset, S. 798.

Da $\ln({{\text{Se}}^{-\mathrm{q}(\mathrm{T}-\mathrm{t})}/\mathrm{X}})=\ln(\mathrm{S}/\mathrm{X})-\mathrm{q}(\mathrm{T}-\mathrm{t})$, kann die Standardnormalvariable d₁ auch wie folgt eruiert werden:

$$\displaystyle\mathrm{d}_{1}=\frac{\ln(\mathrm{S}/\mathrm{X})+(\mathrm{r}_{\mathrm{F}}-\mathrm{q}+\upsigma^{2}/2)(\mathrm{T}-\mathrm{t})}{\upsigma\sqrt{(\mathrm{T}-\mathrm{t})}}\;.$$

Mit einem Binomialmodell (150 Zeitintervalle) resultiert ein Call-Preis für amerikanische Optionen von EUR 128,72 Mio. und für europäische Optionen von EUR 64,83 Mio.

Vgl. Kemna 1993: Case Studies on Real Options, S. 262.

Vgl. Damodaran 2012: Investment Valuation: Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset, S. 800.

Mit einem Binomialmodell (150 Zeitintervalle) resultiert für eine amerikanische Option ein Call-Preis von EUR 510,07 Mio.

Vgl. Abschn. 7.4.3.2 über die Bewertung von Realoptionen.

Bei amerikanischen Verkaufsoptionen ist die Preisobergrenze der Ausübungspreis. Im Gegensatz dazu kann der Preis von europäischen Put-Optionen den Barwert des Ausübungspreises nicht überschreiten. Vgl. z. B. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 210.

Vgl. Chance und Peterson 2013: Real Options and Investment Valuation, S. 536.

Allerdings widerspricht das Phänomen des sogenannten Volatility Smile der Annahme der Lognormalverteilungen bei Aktien, da eine einzelne Aktie in Abhängigkeit vom Ausübungspreis über verschieden hohe implizite Volatilitäten verfügen kann (gleiche Restlaufzeiten der Aktienoption, aber unterschiedliche Ausübungspreise).

Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 274.

Vgl. Abschn. 1.4.1 über die Informationseffizienz der Kapitalmärkte.

Einige fortgeschrittene Modelle arbeiten mit einer zeitvariablen Volatilität. Vgl. Hull 2006: Options, Futures, and Other Derivatives, S. 471 ff.

Für die Schätzung der Volatilität bei Realoptionen vgl. Abschn. 7.6.4.

Für die Definition des risikolosen Zinssatzes vgl. Abschn. 2.3.2.

Optionspreismodelle wie das Black/Scholes-Modell und das Binomialmodell unterstellen, dass ein Replikationsportfolio bestehend aus dem Basiswert und der risikolosen Geldaufnahme bzw. -anlage gebildet werden kann, um das Cashflow-Profil einer Option synthetisch nachzubilden. Darüber hinaus gehen sie davon aus, dass die Option aufgrund von Arbitragekräften auf dem Markt zum gleichen Preis wie der Preis der synthetischen Option gehandelt wird. Dieses Arbitragekonzept ist nur möglich, wenn der Basiswert gehandelt wird. Dies ist beim Basiswert von Realoptionen nicht der Fall, sodass das höhere Risiko mit einem Zinssatz im Optionspreismodell kompensiert werden kann, der über dem risikolosen Zinssatz liegt. Vgl. Damodaran 2012: Investment Valuation: Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset, S. 786.

Vgl. Chance 2001: An Introduction to Derivatives and Risk Management, S. 178 ff.

Vgl. z. B. Amram und Kulatilaka 1999: Uncertainty: The New Rules for Strategy, S. 25 ff.

Vgl. Cox et al. 1979: Option Pricing: A Simplified Approach, S. 249.

Vgl. Abschn. 7.5.

Weit aus dem Geld oder weit im Geld liegende Optionen mit einer kurzen Restlaufzeit besitzen eine geringe Optionspreissensitivität bei Volatilitätsveränderungen des Basiswerts.

Für die historische Volatilität vgl. Abschn. 2.4. Die implizite Volatilität ergibt sich aus dem Optionspreismodell und dem gehandelten Optionspreis. So etwa kann das Black/Scholes-Modell (geschlossenes Bewertungsmodell) nach der Volatilität aufgelöst werden. Nimmt man als Parameter den gehandelten Optionspreis, den Ausübungspreis, die Restlaufzeit der Option und den risikolosen Zinssatz, lässt sich mit dem Modell die Volatilität berechnen. Der so ermittelte Wert geht aus dem gehandelten Optionspreis und dem Optionspreismodell hervor. Im Gegensatz zur historischen Volatilität ist die Annahme, dass die Vergangenheit ein guter Indikator für die Zukunft sei, nicht erforderlich. Allerdings hängt eine korrekt geschätzte implizite Volatilität davon ab, ob der Optionspreis auf dem Markt richtig bewertet ist und ob das Optionspreismodell für die Bewertung der zugrundeliegenden Option geeignet ist.

Für die Monte-Carlo-Simulation können Softwarelösungen wie etwa Crystal Ball eingesetzt werden, das als Zusatzprogramm zu Microsoft Excel erhältlich ist.

Vgl. Amram und Kulatilaka 1999: Real Options: Managing Strategic Investment in an Uncertain World, S. 57 ff.

Das folgende Beispiel stammt aus dem Abschn. 7.4.3.1 über die Bewertung von Finanzoptionen.

Vgl. Copeland und Antikarov 2001: Real Options, S. 94 ff.

Vgl. Chance und Peterson 2013: Real Options and Investment Valuation, S. 548.

Wird die folgende Gleichung $\dfrac{\mathrm{v}_{\mathrm{u}}\mathrm{c}_{\mathrm{u}}+\mathrm{v}_{\mathrm{d}}\mathrm{c}_{\mathrm{d}}}{1+\mathrm{E}\left(\mathrm{r}\right)}=\dfrac{\uppi_{\mathrm{u}}\mathrm{c}_{\mathrm{u}}+\uppi_{\mathrm{d}}\mathrm{c}_{\mathrm{d}}}{1+\mathrm{r}_{\mathrm{F}}}$ nach $\mathrm{E}\left(\mathrm{r}\right)$ aufgelöst, erhält man (7.20).

Vgl. Rubinstein 1976: The Valuation of Uncertain Income Streams and the Pricing of Options, S. 407 ff., und Brennan 1979: The Pricing of Contingent Claims in Discrete Time Models, S. 53 ff.

Vgl. Parrino 2013: Choosing the Right Valuation Approach, S. 274.

Vgl. Anson 2012: CAIA Level I: An Introduction to Core Topics in Alternative Investments, S. 649.

Vgl. Merton 1974: On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, S. 454.

Vgl. Merton 1974: On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, S. 452 ff.

Vgl. Damodaran 2012: Investment Valuation: Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset, S. 832 ff.

Die Macaulay Duration entspricht der durchschnittlichen Bindungsdauer der Cashflows, die bei einer Nullkuponanleihe durch deren Laufzeit gegeben ist. Die Kennzahl wurde von Frederick Macaulay im Jahre 1938 entwickelt. Vgl. Macaulay 1938: Some Theoretical Problems Suggested by the Movements of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856, S. 44 ff.

Vgl. Bucher et al. 2002: Unternehmensbewertung mit Realoptionen, S. 783 ff.

Beim Aufschub eines Investitionsprojekts (Zuwarten, bis der Nettobarwert z. B. aufgrund steigender Verkaufspreise positiv wird) entgehen dem Unternehmen Cashflows.

Amram, M., Kulatilaka, N.: Uncertainty: The New Rules for Strategy. J Bus Strategy 20(3), 25–29 (1999)CrossRef

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Title: Realoptionen
Author: Enzo Mondello
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Book: Aktienbewertung
Print ISBN: 978-3-658-18104-8

Electronic ISBN: 978-3-658-18105-5

Copyright Year: 2017
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-18105-5_7