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2022 | Book

Vektoren und Matrizen Read chapter Read first chapter

Reelle Matrizen, Vektoren und lineare Abbildungen

Ein kompakter Überblick mit Aufgabensammlung

Author: Jens Kunath

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

((vorläufig))
Dieses kompakte Lehrbuch stellt zentrale Eigenschaften von Vektoren, Matrizen und linearen Abbildungen verständlich dar. Es vermittelt somit die wichtigsten Begriffe und Werkzeuge der Linearen Algebra. Mit vielen Beispielen, Abbildungen sowie auch für Nichtmathematiker:innen gut verständlichen Erklärungen eignet sich dieses Werk besonders für Oberstufenschüler:innen, Studienanfänger:innen und Anwender:innen, die verstehen wollen, was Matrizen eigentlich sind und was man damit alles anfangen kann.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Vektoren und Matrizen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird zuerst auf Vektoren mit reellen Einträgen eingegangen, einerseits als Wiederholung aus der Perspektive der Schulmathematik, andererseits aus der Perspektive der Hochschulmathematik. Auf Basis reeller Vektoren werden reelle Matrizen definiert, die sich durch Zusammenfassung mehrerer Vektoren konstruieren lassen. Weiter werden die für viele Anwendungen besonders wichtigen quadratischen Matrizen behandelt, wobei die unterschiedlichen Typen mit wichtigen Eigenschaften genannt und mit Beispielen illustriert werden.
Jens Kunath
Kapitel 2. Rechnen mit Matrizen
Zusammenfassung
Zuerst werden die wichtigsten Standardrechenoperationen auf der Menge der reellen Matrizen behandelt: die Addition, die Subtraktion, die skalare Multiplikation und die (Standard-) Multiplikation von Matrizen. Ergänzend wird die elementweise Multiplikation behandelt, die in vielen Softwarepaketen wie beispielsweise MATLAB und Octave eine wichtige Grundlage zur Arbeit mit Matrizen darstellt. Weiter werden wichtige Kennzahlen und Eigenschaften von Matrizen behandelt, wie beispielsweise der Rang einer Matrix, Invertierbarkeit einer Matrix, Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren. Außerdem wird die Arbeit mit Elementarmatrizen vorgestellt, mit deren Hilfe sich viele Rechnungen als Produkt von Matrizen darstellen lassen. Für die numerische Mathematik wichtig sind die Begriffe Vektor- bzw. Matrixnorm und Kondition einer Matrix, auf die am Ende des Kapitels eingegangen wird. Alle der im Kapitel behandelten Rechnungen und Eigenschaften werden mit Beispielen illustriert.
Jens Kunath
Kapitel 3. Abbildungen zwischen Vektorräumen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird zuerst grob auf den Begriff des Vektorraums eingegangen, was nicht in allgemeiner Form erfolgt, sondern in einer für Studienanfänger verschiedenster Studiengänge erträglichen Weise mit dem Fokus auf die zuvor behandelten reellen Matrizen. Schwerpunkt des Kapitels sind lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen. Nach der Definition des Begriffs der linearen Abbildung wird erläutert, wie sich die Abbildungsvorschrift als Produkt aus einer Matrix und einem Vektor darstellen lässt. Im Anschluss wird auf die wichtigen Begriffe Bild, Faser, Kern und Dimension eingegangen. Im Abschnitt über injektive, surjektive und bijektive lineare Abbildungen wird außerdem erläutert, dass und wie sich lineare Abbildungen zwischen beliebigen Vektorräumen in die Sprache der Matrizen „übersetzen“ lassen. Zum Abschluss des Kapitels wird kurz auf affin-lineare und nichtlineare Abbildungen eingegangen.
Jens Kunath
Kapitel 4. Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Hier werden Aufgaben zu den in den Kapiteln 1 bis 3 behandelten Themen bereitgestellt. Durch die Auseinandersetzung mit den Aufgaben werden Lernende in die Lage versetzt, die behandelten Begriffe, Formeln, Methoden, Rechnungen und Argumentationen besser zu verstehen und eine Rechenroutine zu entwickeln. Zur Selbstkontrolle werden zu jeder Aufgabe mehr oder weniger umfangreiche Lösungen gegeben.
Jens Kunath
Backmatter
Metadata
Title
Reelle Matrizen, Vektoren und lineare Abbildungen
Author
Jens Kunath
Copyright Year
2022
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-65629-7
Print ISBN
978-3-662-65628-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65629-7

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