3. Reelle und komplexe Zahlen

Es hat keinen Sinn, die Monotonie der Multiplikation mit x für alle x zu fordern. Ist nämlich y < z, so gilt \(-z=-z-y+y<-z-y+z=-y\), die Multiplikation mit −1 ist also nicht monoton wachsend, falls es überhaupt zwei verschiedene vergleichbare Elemente gibt.

Wir bemerken, dass häufig auch die Produkte von 0 mit \(\pm\infty\) nicht festgesetzt werden.

In Kap. 4 werden wir für \(K=\mathbb{R}\) gelegentlich auch die Differenzen \(\infty-\infty=\infty+(-\infty)=0\) und \((-\infty)-(-\infty)=(-\infty)+\infty=0\) erlauben.

Eine endliche Familie würde gegen jedes \(x\in K\) konvergieren.

Übrigens ist kein maximales Ideal in \(K^{\mathbb{N}}\), das \(K^{(\mathbb{N})}\) umfasst, explizit bekannt, obschon diese Ideale \(\mathfrak{m}\) mit ihren Restklassenkörpern \(K^{\mathbb{N}}/\mathfrak{m}\) eine außerordentliche Rolle in der sogenannten Nicht-Standard-Analysis spielen, insbesondere für \(K=\mathbb{R}\), vgl. auch die Bemerkung zu Aufg. 4.​2.​31. – Ferner merken wir an, dass es angeordnete Körper K gibt, deren einzige Nullfolgen die stationären Nullfolgen sind, vgl. Aufg. 3.1.12. In diesen Körpern sind die stationären Folgen die einzigen konvergenten Folgen, und es ist \(K^{\mathbb{N}}_{\mathrm{kon}}=K\oplus K^{(\mathbb{N})}\).

Man beachte, dass in einem archimedisch angeordneten Körper eine monotone beschränkte Folge offensichtlich eine Cauchy-Folge ist. Es genügt also Cauchy-Folgen zu betrachten.

Die allgemeine Konstruktion ist für nicht archimedisch angeordnete Körper etwas komplizierter als im Folgenden ausgeführt.

Man kann zeigen, dass eine nichtleere perfekte Teilmenge \(A\subseteq\mathbb{R}\) die Mächtigkeit des Kontinuums hat, vgl. etwa 15, § 6, Aufg. 6.

Es ist also zugelassen, dass ab einer Stelle alle Ziffern von x gleich 2 sind, z. B. ist \({1/3}=(0{,}1)_{3}=(0{,}0222\ldots)_{3}\in{\cal C}\). Die Abbildung \(\{0,2\}^{\mathbb{N}^{*}}\xrightarrow{\sim}{\cal C}\), \((z_{n})\mapsto\sum_{n\in\mathbb{N}^{*}}z_{n}/3^{n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^{k}z_{n}/3^{n}\), ist bijektiv. Vgl. Aufg. 1.​8.​14a).

Die geometrische Interpretation der Multiplikation beschreiben wir weiter unten.

Dieser Gesichtspunkt kann auch in anderen Situationen nützlich sein. Will man etwa in einem Computer die ersten n Primzahlen \(p_{1}=2\), \(p_{2}=3\), \(\ldots\), p _n speichern, so ist es weniger aufwändig, die Differenzen \(d_{1}:=p_{1}=2\), \(d_{2}:=p_{2}-p_{1}=1\), \(\ldots\), \(d_{n}:=p_{n}-p_{n-1}\) einzugeben an Stelle der Primzahlen selbst. (Da überdies alle d _k bis auf d ₂ gerade sind, kann man sie noch bequem halbieren. – Häufig erzeugt man dabei die Primzahlen ≤N bei vorgegebenem \(N\in\mathbb{N}^{*}\) schnell mit dem Sieb des Eratosthenes, vgl. Aufg. 1.​7.​7.) Oder: Wegen \(n^{2}-(n-1)^{2}=2n-1\) generiert man die Folge n ², \(n\in\mathbb{N}\), der Quadratzahlen bequem, mit 0 beginnend, durch sukzessives Addieren der ungeraden natürlichen Zahlen: \(n^{2}=1+3+\cdots+(2n-1)\), \(n\in\mathbb{N}\).

In der Tat benötigt man 12.368 Steine. Man benutzt dazu die genauere Darstellung von γ in Bd. 2, Abschn. 3.8. Wie viele Steine braucht man für einen Überhang ≥20?

Die additiven Abweichungen von p _n und \(n\ln n\) sind also beträchtlich. In der Tat ist \(p_{n}-n\ln n\), \(n\in\mathbb{N}^{*}\), unbeschränkt.

Man ist ständig bemüht, die Abschätzung durch den Primzahlsatz zu verbessern.

Der Schluss vom Lokalen auf das Globale ist eines der Grundmotive für die Analysis.

Der Winkel zwischen den Strahlen Sonne–Perihel und Sonne–Planet heißt die wahre Anomalie (zur Zeit t).

Analog ist die Halbstetigkeit nach unten definiert.

Man vergleiche dies etwa mit der Situation bei \((\mathbb{Q},+)\) und \((\mathbb{Q}_{+}^{\times},\cdot)\).

Die Funktion e ^x auf \(\mathbb{R}\) stimmt mit ihrer Ableitung überein. Vgl. auch Aufg. 3.10.8 für einen ersten Hinweis.

Heute sind ja auch negative Zinsen möglich.