Robuste Regelung

Die Ausrichtung dieses Werks auf die robuste Regelung im Kontext von sicherheitskritischen Anwendungen wird erklärt sowie die Abfolge einzelner Kapitel vorgestellt. Da sich das Buch vor allem an Entwicklungsingenieure in der Industrie richtet, werden einige Spezifika festgelegt, die dieser Zielgruppe gerecht werden. Das Wichtigste ist die kompakte Darstellung der Problematik, bei der ein tragender, typischer Ansatz erklärt wird. Für sein Verständnis sind die Grundlagen der Systembeschreibung ausreichend. Es wird darauf geachtet, dass die dargestellten Prinzipien ohne weitere Literatursuche verständlich dargestellt werden, soweit es für deren Anwendung erforderlich ist. Es wird auf verbreitete Entwicklungsumgebungen wie Matlab und das dazu weitgehend kompatible Freeware-Paket Octave sowie auf die dort zuverlässig implementierten Methoden verwiesen.

Der Ausgangspunkt für die Überlegungen zur robusten Regelung ist die Beschreibung des zu regelnden Systems. Obwohl davon ausgegangen wird, dass ein Entwickler von Regelungen mit den Grundlagen der Systembeschreibung vertraut ist, werden die wichtigen Ansätze, die Zustandsraum- und die Übertragungsfunktionsdarstellung kurz zusammengefasst. Der Fokus liegt auf dem essenziellen Begriff des Frequenzgangs, der in der robusten Regelung eine tragende Rolle spielt. Für die Lösung einer Anwendungsaufgabe ist die Wahl des Detaillierungsgrads des Modells wichtig. Ein zu detailliertes hat ebenso wie ein vereinfachtes Modell Vorteile und Nachteile. Es wird gezeigt, welche Vereinfachungen durch die Linearisierung des Streckenmodells vorgenommen werden und wie sie durch Robustheit und Performanz des Regelkreises abgedeckt bzw. kompensiert werden. Eine wichtige Eigenschaft einer Regelstrecke ist ihre Stabilität. Stabile Regelstrecken überwiegen in den industriellen Anwendungen bei weitem, und deren methodische Behandlung ist deutlich einfacher als diejenige von instabilen Strecken. Damit wird der Fokus dieses Buchs auf stabile Regelstrecken begründet.

Für die Charakterisierung und Spezifikation jeder Regelung sind zwei Begriffe von essenzieller Bedeutung: die Robustheit und die Performanz. Daher werden diese Begriffe zuerst verbal erklärt. Die Robustheit ist die Fähigkeit des Regelkreises, seine Funktionsweise auch unter Variationen der Regelstrecke beizubehalten. Die Performanz charakterisiert die Güte des Führungsverhaltens, d. h., wie der Regelkreis der Vorgabe externer Sollwerte folgt. Gleichzeitig beschreibt die Performanz die Fähigkeit, externe Störgrößen zu kompensieren. Als „extern“ sind in einigen Fällen auch gewisse interne Nichtlinearitäten wie Reibung zu behandeln.

Bei sicherheitskritischen Anwendungen handelt es sich um Anwendungen, in denen die funktionale Sicherheit gefordert wird und gewährleistet werden muss. Unter vielen sicherheitskritischen Anwendungsgebieten ist als aktuelles, prominentes Beispiel die Fahrzeugsicherheit zu nennen. Die Anforderungen an sie sind in der Norm ISO 26262 formuliert. Das Niveau von Sicherheitsanforderungen wird durch die ASIL-Klassifikation beschrieben. Um in den weiteren Kapiteln hierauf Bezug nehmen zu können, werden die wichtigen Begriffe dieser Klassifikation kurz erklärt.

Die Mindestanforderung an die Robustheit eines Reglers besteht in der Garantie, dass der Regelkreis bei einem gewissen Spektrum von Regelstreckenvariationen stabil bleibt, d. h. in keine selbsterhaltenden Oszillationen verfällt. Daher muss zuerst die geeignete mathematische Definition der Stabilität formuliert werden. Neben der Forderung stabiler Pole ist das auf dem Frequenzgang basierte Nyquist-Kriterium für die Konzepte der robusten Regelung wichtig. Die eigentliche Quantifizierung der Robustheit, die Definition des Bereichs von Regelstreckenvariationen mit garantierter Stabilität, stützt sich auf den Begriff der Regelstrecken-Perturbation, einer Art prozentueller Abweichung der variierten Regelstrecke von der nominellen Variante. Die Robustheitsbedingung kann dann direkt mit einer charakteristischen Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises, der sogenannten komplementären Sensitivität, in Verbindung gebracht werden. Diese Bedingung kann – neben einer algebraischen Ungleichung – anschaulich im Nyquist-Plot abgebildet werden.

Neben der Robustheit ist die wichtigste Eigenschaft eines Reglers seine Performanz. Sie beschreibt sein Führungsverhalten sowie seine Fähigkeit zur Kompensation externer Störungen. Diese Eigenschaft ist durch die sogenannte Sensitivität, die einer bestimmten Übertragungsfunktion des Regelkreises entspricht, beschrieben. Die Sensitivität und die die Robustheit charakterisierende komplementäre Sensitivität stehen in einer einfachen quantitativen Beziehung: Ihre Summe ist für jede Frequenz gleich 1. Um realistische Anforderungen an die Performanz stellen zu können, müssen ihre Grenzen, die sich aus mathematischen Gesetzen ergeben, bekannt und berücksichtigt werden. Neben der Sensitivität sind auch weitere, je nach Anwendung relevante Performanzcharakteristiken wichtig, die für den Reglerentwurf spezifiziert werden können. Das Zusammenspiel von Performanz und Robustheit birgt in gewissen Fällen einen Zielkonflikt in sich. Um beide zu verbinden, wird das Konzept der robusten Performanz eingeführt. Es handelt sich um diejenige Performanz, die unter allen Regelstreckenvariationen (beschrieben durch Perturbationen zur Nominalstrecke) garantiert werden kann.

Die funktionale Sicherheit, beschrieben durch die Norm ISO 26262 und die ASIL-Klassifikation, kann, sofern sie mit geregelten Komponenten im Zusammenhang steht, mit den Begriffen der Robustheit und Performanz in Verbindung gebracht werden. Betroffen sind die ASIL-Kriterien „Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ausfallereignisses“, und „Grad der Beherrschbarkeit durch den Fahrer“. Ersteres hat einerseits mit der Wahrscheinlichkeit einer Regelstreckenvariation (z. B. durch Fertigungsschwankungen oder Betriebspunkte der Komponente) zu tun – ein Aspekt der Robustheit. Andererseits können hier Wahrscheinlichkeiten von extremen Störungen eine Rolle spielen, was der Performanz zuzuordnen ist. Die Beherrschbarkeit durch den Fahrer kann ebenfalls mit der Performanz bzw. ihrem jeweiligen Abfall zu tun haben. Beide Eigenschaften können durch den Begriff der robusten Performanz verbunden werden.

Die bisher vorgestellten Charakteristiken der Robustheit und Performanz basieren auf Frequenzgängen. Neben der Möglichkeit einer analytischen Berechnung aus dem mathematischen Regelstreckenmodell kann ein Frequenzgang auch aus Messdaten der Eingangs- und Ausgangsvariablen der realen Regelstrecke direkt bestimmt werden. Die Methode dafür ist bekannt: die Fourier-Transformation für aperiodische, abklingende Signale sowie die Fourier-Reihe für periodische Signale. Für die Qualität des Ergebnisses ist die Wahl eines geeigneten Messexperiments, insbesondere des Anregungssignals, maßgeblich. Obwohl theoretisch alle Anregungssignale zum Ergebnis führen können, sind einige populäre Signale wie Impuls oder Sprungfunktion durch ihre ungünstigen spektralen Eigenschaften nicht immer empfehlenswert. Bessere Ergebnisse können von periodischen Signalen wie Sinusanregung oder Anregung durch eine binäre Pseudozufallssequenz (PRBS) erzielt werden. Dazu werden Vergleichsbeispiele vorgestellt. Eine besondere Problematik stellen driftende Signale bei Integralstrecken dar, die einer Trendbereinigung unterzogen werden müssen. Eine weitere Besonderheit sind Regelstrecken, deren Stellgröße grundsätzlich nichtnegativ ist (wie Signale mit Charakter einer physikalischen Leistung oder Energiezufuhr). Auch hier ist eine Behandlung der Messreihe notwendig.

Obwohl für die Analyse der Robustheit und Performanz empirische Frequenzgänge ausreichend sind, wird spätestens beim Reglerentwurf ein weitgehend zutreffendes mathematisches Modell der Regelstrecke gefordert. Die meistverwendeten Methoden zur Modellidentifikation beziehen sich auf die Zeitbereichsdarstellung des Modells, und die Anpassung findet direkt an die gemessenen Daten statt. Alternativ kann aber auch eine Modellanpassung an den empirischen Frequenzgang vorgenommen werden. Das methodische Instrumentarium basiert, genauso wie dasjenige für den Zeitbereich, auf linearer Regression. Der Vorteil dieser Vorgehensweise liegt in der besseren Bewertungsmöglichkeit des Ergebnisses. Während die Abweichungen zwischen Modell und Messdaten im Zeitbereich nicht mit den Robustheitsbegriffen in Verbindung gebracht werden können, ist diese Verbindung im Frequenzbereich offensichtlich: Die Abweichung kann direkt in die früher erwähnte Modellperturbation umgerechnet werden. Dadurch lässt sich direkt abschätzen, welcher Anteil der verfügbaren Reglerrobustheit durch die Modellungenauigkeit „aufgebraucht“ wird, und zwar auch dann, wenn das Modell in einer strukturierten, physikalisch motivierten Form gesucht wird.

Es gehört zur industriellen Realität, dass Systeme aus Komponenten bestehen, für deren Auslegung verschiedene Verantwortlichkeiten vorliegen. Bei einem geregelten sicherheitskritischen Gesamtsystem ist die Frage wichtig, welche Robustheitsspezifikationen eines Subsystems notwendig sind, um die funktionale Sicherheit des Gesamtsystems zu gewährleisten. Diese Information muss an den Verantwortlichen für die Komponente (z. B. den Zulieferer) in einer Weise weitergeleitet werden, dass er imstande ist, sie mit den Robustheitsmerkmalen seiner Komponente in Verbindung zu bringen. Das Hauptinstrument dazu ist die Beziehung zwischen der Perturbation einer Regelstrecke und der Perturbation des Regelkreises (z. B. der Variabilität des Führungsverhaltens der Komponente). Diese Beziehung wird erklärt und an einem Beispiel aus dem Bereich des automatisierten Fahrens erläutert.

Die Theorie der robusten Regelung basiert weitgehend auf der Systemdarstellung im Frequenzbereich. Für einige Anwendungsbereiche erscheint jedoch eine Spezifikation der geforderten Reglereigenschaften im Zeitbereich natürlicher. Noch wichtiger ist bei sicherheitskritischen Anwendungen die Möglichkeit, die Signale für diagnostische Zwecke in Echtzeit zu überwachen. Deshalb wird eine Verbindung zu Performanzcharakteristiken im Zeitbereich hergestellt. Diese Verbindung ist auf dem Begriff der Signal- und Systemnormen aufgebaut und wird anhand der Spezifikation der Regelabweichung sowie der Abweichung von einem Referenzmodell veranschaulicht. Beide Alternativen haben aus der Sicht der Realisierung ihre Vor- und Nachteile. Dabei wird der konservative Charakter der auf Signal- und Systemnormen basierenden Aussagen deutlich: Sie zielen immer auf den ungünstigsten möglichen Fall.

Eine Reglerstruktur ist in industriellen Anwendungen so verbreitet, dass ihrer Robustheits- und Performanzanalyse ein eigenes Kapitel gewidmet wird: der PID-Regler. Um ein besseres Verständnis der Rolle seiner Komponenten (P, I und D) zu gewinnen, werden deren Robustheits- und Performanzeigenschaften einzeln betrachtet. Die Robustheits- und Performanzanalyse des PID-Reglers unterscheidet sich nicht von derjenigen des allgemeinen Reglers. Da keine direkten Entwurfsmethoden für PID-Regler mit spezifizierter Robustheit verfügbar sind, muss auf kombinatorische Optimierung ausgewichen werden, die im Falle von nur drei Parametern gut realisierbar ist. Eine oft überlegene Alternative ist die Pol-Kompensation mittels PID-Regler, die nur einen zu optimierenden Parameter übrig lässt. Beide Optimierungsmethoden werden anhand eines Beispiels illustriert.

Die Robustheits- und Performanzanalyse ist unabhängig vom Werdegang des Reglers – jede Entwurfsmethode kann verwendet worden sein. Andererseits ist es von Vorteil, Spezifikationen, die nach den Anforderungen der Anwendung formuliert sind, direkt in den Reglerentwurf einzubinden, um auf einem möglichst direkten Wege einen Regler mit diesen Eigenschaften zu erhalten. Die robuste Regelung wird oft mit der H_∞-Entwurfsmethode gedanklich verbunden. Das ist eine Universalmethode mit hoher Flexibilität bei der Formulierung von Regelungszielen. Ihre Handhabung ist jedoch, falls sie zum gewünschten Ziel führen soll, relativ anspruchsvoll. Daher wird neben der H_∞-Methode ein deutlich einfacheres Verfahren vorgestellt, welches bei typischen industriellen Anwendungen ebenfalls zum Ziel führt: die Q-Parametrierung. Die Voraussetzungen für den Einsatz sind einfacher und für den Entwickler oft transparenter.

Jeden Entwickler holt eines Tages ein unerwartetes Verhalten des Regelkreises ein, trotz aller Sorgfalt beim Entwurf. Zu den unerfreulichsten Phänomenen gehört sicherlich die Instabilität des Regelkreises: die Neigung zu Oszillationen in gewissen Betriebspunkten des Gesamtsystem. Auch in dieser Situation ist strukturiertes Vorgehen möglich, durch das die Instabilität behoben wird. Dieses Vorgehen erfordert nur eine Messaufnahme der Oszillationen an der Ein- und Ausgangsseite der Regelstrecke. Im optimalen Fall handelt es sich um zumindest kurze Zeit bestehende ungedämpfte Oszillationen ohne wesentliche externe Anregung. Durch deren Analyse kann die Abweichung des betroffenen Betriebspunkts vom bisherigen Nominalmodell der Regelstrecke festgestellt und der Regler angepasst werden. Hierzu stehen zwei Alternativen zur Verfügung: die Anpassung der Robustheitsspezifikation und die Anpassung des Nominalmodells. Beide werden anhand eines Beispiels gezeigt.