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2020 | Book

Einleitung Read chapter Read first chapter

Schöne Fragen aus der Geometrie

Ein interaktiver Überblick über gelöste und noch offene Probleme

Author: Prof. Dr. Jürgen Bokowski

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Kann man 23 Punkte und 23 Geraden in der Ebene so anordnen, dass durch jeden Punkt genau vier Geraden verlaufen und gleichzeitig auf jeder Geraden genau vier Punkte liegen?
Kann man einen Messestand als Möbiusband mit gleichgroßen Dreiecken bauen?
Wie schafft man den Sprung vom vertrauten dreidimensionalen Raum in die vierte Dimension – oder sogar noch höher?

Dieses Buch führt anschaulich in interessante Fragen aus der Geometrie ein, wobei zum Verständnis nur Konzepte aus der Schulmathematik und etwas Vorstellungsvermögen benötigt werden. Der Weg führt von einfachen Punktkonstruktionen über bekannte geometrische Sätze und gelöste Probleme bis hin zu noch offenen Fragen, wodurch auch Nichtmathematikern ein guter Überblick über diesen Teil der Geometrie ermöglicht wird. Eine Vielzahl an Grafiken und Fotos bereichern den Text und die Beispiele werden mit vielen Videos und dynamischen Konstruktionen weiter veranschaulicht.
Die interaktiven Modelle benötigen die Programme Cinderella und Blender, die kostenlos heruntergeladen werden können.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Große Teile der Mathematik sind nur für wenige Experten verstehbar. Daher wird der Öffentlichkeit wenig über forschungsrelevante Aspekte der Mathematik vermittelt. Kann man als Mathematiker eine Auswahl von Forschungsproblemen aus der Mathematik oder einige interessante Anwendungsbeispiele der Mathematik einem Abiturienten erklären, wenn die Mathematik-Kenntnisse aus der Schule eher verblasst sind? Kann man einem Mathematik-Lehrer einige ungelöste Probleme aus der Mathematik erklären, die zur Beschreibung nur den Einsatz elementarer Begriffe aus der Mathematik erfordern? Dann könnte er solche Probleme auswählen, die er für einen möglichen Einsatz in der Schule einstuft. Das vorliegende Buch möchte Antworten auf diese Fragen geben. Die Fülle der standardmäßig an Universitäten für alle Fachbereiche vermittelten Kenntnisse der Mathematik müssen anderen Lehrwerken vorbehalten bleiben. Bei Problemen aus der Geometrie sollen meine Modelle und viele Abbildungen helfen, einen schnellen Zugang zu ausgewählten Problemen der Geometrie zu finden.
Jürgen Bokowski
Kapitel 2. Punkt-Geraden-Konfigurationen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel stelle ich sehr einfach zu formulierende offene mathematische Probleme zu Punkt-Geraden-Konfigurationen in der Ebene vor. Ich starte mit einer Anwendung: Vor den Wahlen eines Präsidenten in Slowenien gab es acht Kandidaten. Der nationale Fernsehsender beabsichtigte, an acht Tagen je eine Fernsehdebatte mit jeweils drei Kandidaten zu senden. Jeder Kandidat bekam drei Termine. Es sollten nie zwei Kandidaten mehrfach zusammentreffen. Wir deuten die n = 8 Kandidaten als Punkte und die n = 8 Fernsehdebatten als Geraden. Jede Gerade enthält k = 3 Punkte, und durch jeden Punkt gehen k = 3 Geraden. Wir sprechen dann von einer (nk)-Punkt-Geraden-Konfiguration. Diese Punkt-Geraden-Konfigurationen wurden in den letzten 30 Jahren erneut in der mathematischen Forschung aufgegriffen. Im Fall k = 4 wurde für alle natürlichen Zahlen n geklärt, ob es eine entsprechende Punkt-Geraden-Konfiguration gibt, nur der Fall n = 23 blieb auf überraschende Weise bisher offen.
Jürgen Bokowski
Kapitel 3. Zellzerlegte geschlossene Flächen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel behandeln wir die einfache Frage: Gibt es außer dem Tetraeder weitere dreidimensionale Polyeder, die keine Diagonale besitzen? Dazu müssen wir erklären, was wir unter einem dreidimensionalen Polyeder verstehen wollen. Wir beschreiben dazu zunächst abstrakt, welche Randfläche ein solches Polyeder haben soll. Der Rand soll von einer endlichen Anzahl (zunächst abstrakter) n-Ecke, n ≥ 3, gebildet werden. Jede (zunächst abstrakte) Kante soll Kante von genau zwei dieser n-Ecke sein. Damit kann man als zweidimensionales Wesen auf der Fläche nie zu einem Rand der Fläche gelangen. Wir sprechen von einer geschlossenen Fläche. An jeder Ecke sollen mindestens drei dieser n-Ecke angrenzen, sie sollen dort eine zyklische Reihenfolge um diese Ecke bilden, und wir betrachten nur zusammenhängende Flächen. Welche Flächen dabei entstehen können, sagt uns die Topologie, eine mathematische Teildisziplin, deren Denkweise wir dazu vorstellen. Schon Möbius hatte eine abstrakte Fläche angegeben, die aus 14 Dreiecken bestand. Wenn man diese 14 Dreiecke als ebene Dreiecke herstellen könnte, ohne dass sie sich durchdringen, dann hätte dieses Polyeder ein Loch und keine Diagonale.
Jürgen Bokowski
Kapitel 4. Platonische Körper und Analoga
Zusammenfassung
Konvexe Polyeder in höheren Dimensionen sind die Grundbausteine für vielfältige mathematische Anwendungen in der Optimierung. Die platonischen Körper sind konvexe Polyeder in der Dimension 3. Sie bilden in vielen mathematischen Disziplinen wichtige Beispiele, nicht zuletzt für Symmetriebetrachtungen. Ich gebe in diesem Kapitel einen möglichst elementaren Einstieg in die Welt der Analoga zu den platonischen Körpern in höheren Dimensionen, um ein ungelöstes mathematisches Problem aus der Theorie konvexer Polyeder zu beschreiben. Dabei vermeide ich nach Möglichkeit mathematisches Spezialwissen. Ich versuche, in diesem Kapitel erste vierdimensionale Überlegungen zu vermitteln. Bei einem Problem in Kap. 7 über einen Messestandentwurf der Architekten wird nach Punkten in einem höherdimensionalen Würfel gesucht. Ich erkläre aus diesem Grund besonders die Eigenschaften des vierdimensionalen Würfels. Ein Spiel hilft dabei, sich mit dem Denken in höheren Dimensionen vertraut zu machen.
Jürgen Bokowski
Kapitel 5. Die 3-Sphäre zerlegt in Dürer-Polyeder
Zusammenfassung
Der Rand vierdimensionaler konvexer Polyeder bildet eine topologische dreidimensionale Sphäre.Wenn man sie durch eine abstrakte Zellzerlegung vorgelegt bekommt, dann lautet die Frage, ob man zu der abstrakten Zellzerlegung ein konvexes Polyeder mit dieser Randstruktur finden kann. Diese Frage führt in ein aktives Feld mathematischer Forschung. Wir wählen ein Beispiel, bei dem alle Facetten auf dem Rand kombinatorisch dem Polyeder aus dem Kupferstich Melencholia I von Albrecht Dürer entsprechen. Die Überlegungen, die zur Zerlegung der 3-Sphäre führen, sind mit dreidimensionalen Argumenten nachzuvollziehen und führen zu einem ersten Verständnis vierdimensionaler Polyeder. Dieses Verständnis (auch in höheren Dimensionen) wird benötigt, um ein großes Feld wichtiger mathematischer Anwendungen zu bearbeiten. Die Kosten bei vielen Produktionsketten oder Verfahrensabläufen hängen oft von einer großen Anzahl von Variablen ab, die unabhängig voneinander sind, und der Wunsch der Unternehmen besteht darin, diese Kosten zu minimieren. Die Anzahl der Variablen bestimmt dann die Dimension der Problematik, und der Mathematiker hat es dann mit Problemen in hohen Dimensionen zu tun. Die Leser sind eingeladen, erste Schritte auf diesem Weg zu gehen.
Jürgen Bokowski
Kapitel 6. Symmetrien und Permutationsgruppen
Zusammenfassung
Im Kapitel über Konfigurationen spielte die Symmetrie einer Gruppe der Ordnung 51.840 eine Rolle, und im Kapitel über reguläre Karten treffen wir auf eine Gruppe der Ordnung 1.008. Symmetrien erleben wir in vielen Lebensbereichen, und die Mathematik liefert dafür präzise Begriffsbildungen. Wir erklären in diesem Kapitel den Gruppenbegriff und beschreiben Symmetrien durch Permutationsgruppen. Offene oder jüngst gelöste Probleme in der Geometrie sprechen wir in diesem Kapitel nicht an, aber Problemstellungen aus der Geometrie sind durch ein Verständnis des Gruppenbegriffs besser zu würdigen.Wir beginnen mit einem regulären 5-Eck und erklären daran zunächst den Begriff einer zyklischen Gruppe und den Begriff einer Dieder-Gruppe. Die eigentlichen und uneigentlichen Bewegungen, die einen platonischen Körper in sich überführen, bilden ebenfalls eine Gruppe. Wir geben Permutationsgruppen an, die diese Symmetrien platonischer Korper beschreiben, und definieren Begriffe wie Spurdreieck, Fahne, Petrie-Polygon und Schläfli-Symbol.
Jürgen Bokowski
Kapitel 7. Architektur und Mathematik
Zusammenfassung
Am Fachbereich Architektur der Technischen Universität Darmstadt gab es für ein Studienprojekt eine geometrische Vorgabe für einen Messestand, den es von den Studenten zu entwerfen galt. Ein polyedrisches Möbius-Band, bestehend aus endlich vielen, gleich großen ebenen Trapezen, wurde für die Gestaltung eines Messestandes gefordert. Die ursprünglich aus Papier und anderen Werkstoffen gefertigten Entwürfe der Studenten waren nicht geeignet, für eine endgültige zu fertigende Version genaue Koordinaten zu liefern. Mit mathematischer Unterstützung konnte die Problematik gelöst werden. Zu dieser Verbindung von Architektur und Mathematik betrachten wir Beispiele von Flächen in der Architektur, die wir als Seifenhäute kennen und die von Mathematikern seit Langem als Minimalflächen untersucht werden. Die isoperimetrische Ungleichung, die besagt, dass ein Körper bei vorgegebenem Volumen als Kugel die kleinste Oberfläche besitzt, wird durch jede Seifenblase bestätigt. Wenn aber Ränder mit im Spiel sind, dann entstehen vielfältige Minimalflächen anderer Gestalt. Die Dachkonstruktion des Olympiastadions in München und die Schwimmhalle in Peking, gebaut zur Olympiade 2008, sind in diesem Sinn eindrucksvolle Beispiele.
Jürgen Bokowski
Kapitel 8. Reguläre Karten
Zusammenfassung
Wir übertragen eine Symmetrieeigenschaft der platonischen Körper auf eine abstrakte zellzerlegte geschlossene Fläche, die reguläre Karte genannt wird, wenn gilt: 1. Jede Zelle hat gleich viele Ecken, und sie wird abstrakt durch eine zyklische Folge ihrer Ecken beschrieben. 2. An jeder Ecke gibt es gleichviele Zellen, die diese Ecke enthalten, und diese Zellen bilden eine zyklische Folge um diese Ecke. 3. Es gibt eine Symmetriegruppe mit Permutationen der Ecken als Elemente, sodass nach zweimaliger Auswahl eines n-Ecks mit einer Kante dieses n-Ecks und einer Ecke dieser Kante die erste Auswahl in die zweite Auswahl durch ein Element der Symmetriegruppe überführt werden kann, ohne dabei die Struktur der Zellzerlegung zu verändern. Die zellzerlegte geschlossene Fläche im Fall der platonischen Körper war eine zweidimensionale Sphäre.Wir betrachten jetzt kombinatorische symmetrische Strukturen auf einer beliebigen zusammenhängenden geschlossenen Fläche. Wichtige reguläre Karten wurden im 19. Jahrhundert im Zusammenhang mit Riemann’schen Flächen gefunden. Wir behandeln u.a. reguläre Karten von Harold Scott MacDonald Coxeter, Walther von Dyck, Adolf Hurwitz und Felix Klein mit ihren jüngsten durchdringungsfreien topologischen und polyedrischen Realisierungen.
Jürgen Bokowski
Kapitel 9. Sphärensysteme
Zusammenfassung
Äquator und Breitenkreise auf unserer Erdkugel sind Großkreise.Wir betrachten Großkreise auf der Kugel als eindimensionale Sphären. Zu jedem Punkt P in einer Ebene, die man auf eine Kugel mit Mittelpunkt M gelegt hat, entsteht ein Großkreis, wenn man eine zur Geraden durch M und P senkrechte Ebene E durch M mit der Kugeloberfläche schneidet. Umgekehrt erhält man den Punkt aus dem Großkreis zurück, indem man durch den Mittelpunkt des Großkreises und senkrecht zu der Ebene, in der er liegt, eine Gerade legt, die dann in der Ebene wieder den Punkt P trifft. Das Nachdenken über Punktmengen in der Ebene und das Nachdenken über Mengen von Großkreisen auf dem Rand der Kugel betrifft daher dieselbe mathematische Struktur. Völlig analog entsprechen Punktmengen im dreidimensionalen Raum Mengen von Großsphären auf dem Rand der vierdimensionalen Kugel. Die Großsphärensysteme lassen sich zu topologischen Sphärensystemen verallgemeinern, und von dieser Verallgemeinerung, die dadurch auch eine Verallgemeinerung der Punktmengen ergibt, handelt dieses Kapitel.
Jürgen Bokowski
Kapitel 10. Integralgeometrie
Zusammenfassung
Die interessantesten mathematischen Probleme sind i. Allg. diejenigen, die man verhältnismäßig einfach formulieren kann, die vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik oder anderen Gebieten versprechen und die auch rein für sich betrachtet einen gewissen Reiz haben. So begann ich mit der Einführung zu der Thematik meiner unveröffentlichten Habilitationsschrift [3], und weiter: Das zur Einführung in die Problematik der Arbeit gedachte Problem hat Chancen, als ein solches angesehen zu werden. Wir erlauben uns dabei, eine nichtmathematische Formulierung: Gegeben sei ein durch Glaswände begrenzter konvexer Körper im gewöhnlichen Raum. Wir bilden eine Seifenblase, die zusammen mit der Glaswand ein vorgegebenes Volumen umschließt. Wie klein kann die Oberfläche der Seifenhaut werden? Dieses Kapitel behandelt eine kleine Auswahl von Themen aus der Integralgeometrie. Sie zeigt eine weitere Vielfalt von Fragestellungen der Geometrie.
Jürgen Bokowski
Backmatter
Metadata
Title
Schöne Fragen aus der Geometrie
Author
Prof. Dr. Jürgen Bokowski
Copyright Year
2020
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-61825-7
Print ISBN
978-3-662-61824-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61825-7

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