Schwingungen

Als Schwingungen werden mehr oder weniger regelmäßig erfolgende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen bezeichnet. Schwingungen können überall in der Natur und in allen Bereichen der Technik beobachtet werden. So schwankt die Tageshelligkeit in 24-stündigem Rhythmus; es pendelt der Arbeitskolben in einem Motor ständig hin und her; schließlich ändert sich der Winkel, den ein in einer vertikalen Ebene schwingendes Schwerependel mit der Vertikalen bildet, in sich wiederholender Weise. Es wird eine Einführung in das Thema Schwingungen gegeben.

Freie Schwingungen sind Bewegungen eines sich selbst überlassenen Schwingers. Bei ihnen findet ein ständiger Energieaustausch statt, wobei Energie der Lage (potentielle Energie) und Energie der Bewegung (kinetische Energie) wechselseitig ineinander übergehen. Bleibt die während der Schwingung ausgetauschte Energie im Verlauf der Bewegung erhalten, dann sind die Schwingungen ungedämpft; man nennt sie auch konservativ. Wird dem System z. B. über Reibungskräfte Energie entzogen, so verlaufen die Bewegungen gedämpft. Im folgenden Kapitel werden zunächst die ungedämpften, dann die gedämpften Schwingungen behandelt. Innerhalb dieser Einteilung ist es dann noch zweckmäßig, die linearen von den nichtlinearen Schwingern zu unterscheiden.

Selbsterregte Schwingungen sind freie Schwingungen besonderer Art. Sie unterscheiden sich von den im Kap. 2 behandelten Schwingungen durch den Mechanismus ihrer Entstehung und ihrer Aufrechterhaltung. Kennzeichnend für selbsterregungsfähige Schwinger ist das Vorhandensein einer Energiequelle, aus der der Schwinger im Takte seiner Eigenschwingungen Energie entnehmen kann, um die unvermeidlichen Verluste durch Dämpfungen auszugleichen.

Schwingungen werden als parametererregt bezeichnet, bei denen die Erregung als Folge der Zeitabhängigkeit von Parametern des schwingenden Systems zustande kommt. Es interessiert dabei vor allem eine periodische Abhängigkeit von der Zeit. Da die Periode der Parameteränderung durch äußere Einwirkungen vorgeschrieben ist, liegt eine Fremderregung vor. In Sonderfällen kann jedoch auch eine Parameteränderung mit einer von der Eigenfrequenz des Schwingers beeinflussten Periode vorkommen. Die Parameter ändern sich dann im Takte der Eigenfrequenz, sodass der Schwinger gewisse Kennzeichen eines Systems mit Selbsterregung besitzt. Man kann ihn sinngemäß als parameter-selbsterregt bezeichnen.

Kennzeichen erzwungener Schwinger ist das Vorhandensein einer äußeren Erregung, durch die das Zeitgesetz der Bewegungen des Schwingers bestimmt wird. Erzwungene Schwingungen sind fremderregt, da die Erregung von außen kommt. Die erregenden Kräfte sind auch dann wirksam, wenn sich der Schwinger selbst nicht bewegt. Darin unterscheiden sich die erzwungenen Schwingungen von den zuvor behandelten selbsterregten oder parametererregten Schwingungen. So sind die schwingungserregenden Kräfte eines Verbrennungsmotors auch dann vorhanden, wenn das Fundament, auf dem der Motor steht, durch irgendwelche Maßnahmen festgehalten, also am Schwingen gehindert wird.

Die in der Technik vorkommenden Schwinger haben meist mehrere Freiheitsgrade. Sie können dann in verschiedener Weise zu Schwingungen angeregt werden, und die verschiedenen möglichen Bewegungen werden sich sowohl der Schwingungsform, als auch der Frequenz nach voneinander unterscheiden. Wenn sich diese Schwingungen gegenseitig beeinflussen, dann nennt man sie gekoppelt. Je stärker diese Kopplung ist, umso wirksamer ist die Beeinflussung, und umso mehr können die dann stattfindenden Bewegungen von den bisher untersuchten Schwingungserscheinungen abweichen.

Bei den bisher behandelten Schwingern waren die Speicher für potenzielle und kinetische Energie stets eindeutig definiert und klar gegeneinander abgegrenzt. Darin liegt jedoch im Allgemeinen bereits eine Idealisierung des Problems. Beispielsweise wurde bei den am Ende von Kap. 6 behandelten Drehschwingerketten einerseits die Masse der Drehfedern und andererseits eine eventuell vorhandene elastische Nachgiebigkeit der Drehmassen vernachlässigt. Für zahlreiche Untersuchungen sind derartige Vereinfachungen durchaus zulässig. Es gibt jedoch auch Fälle, bei denen diese Näherungen nicht mehr zu brauchbaren Ergebnissen führen. Wir beschäftigen uns deshalb im Folgenden mit Schwingern, bei denen die beiden Energiespeicher kontinuierlich verteilt sind. Die mathematische Behandlung dieser Probleme führt auf partielle Differentialgleichungen, für die nur in einfachen Fällen geschlossene Lösungen möglich sind. Wir beschränken uns hier auf so genannte eindimensionale Kontinua, bei denen neben der Zeit eine einzige unabhängige Ortsvariable zur Beschreibung ausreicht. Beispiele sind Saiten, Stäbe und Balken. Wegen der mathematischen Schwierigkeiten bei der Lösung praxisnaher Schwingungsprobleme kommt auch hier den Näherungsverfahren große Bedeutung zu. Auf einige dieser Näherungen wird am Ende des Kapitels eingegangen.