Schwingungslehre mit Maschinendynamik

Für einen schematisch dargestellten Rüttler sollen die auf den Boden wirkenden Kräfte berechnet werden, wenn die Maschine im arretierten Transportzustand angelassen wird. Die Aufgabe dient als Muster eines schrittweisen Lösungsvorgehens, vom Durchdenken der Aufgabestellung über die Modellbildung zum Ansetzen der Gleichgewichtsbedingungen mit d’Alembertschen Kräften und Hinweisen zur Parameterbeschaffung; sie endet mit einer einfachen Berechnung, deren Ergebnis kurz diskutiert wird.

Bei Fertigungs- oder Montageungenauigkeiten weicht der Schwerpunkt eines starren Rotors häufig von seiner Drehachse ab, diese liegt evtl. auch zu keiner Trägheitshauptachse parallel. Dann treten Fliehkräfte bzw. Momente auf, die bei starrer Lagerung auf die Lager als schwingende Belastungen wirken; man spricht von Unwuchtkräften bzw. Momenten. Beim Auswuchten lässt man den Rotor auf einer Prüfmaschine laufen, misst die Kräfte, bringt an geeigneten Stellen Ausgleichsmassen an oder fräst Werkstoff weg, bis die Kräfte hinreichend klein sind. In diesem Kapitel geht es um das Entwickeln eines Modells, für das Gleichgewichtsbedingungen vektoriell-räumlich angesetzt und nach den Lagerkräften aufgelöst werden. Das Auswuchten kann man dynamisch als Aufheben der Lagerkräfte oder massen-geometrisch als Schieben des Schwerpunkts auf die Drehachse bzw. Drehen der Hauptachsen sehen.

Behandelt wird eine maschinendynamische Aufgabe mit Praxisbezug. Ziele sind das Vermitteln des methodischen Vorgehens und das Kennenlernen der Fachbegriffe. Im Vordergrund steht die Modellbildung mit Überlegungen zu nachgiebigen Abstützungen von Maschinen und vereinfachenden Symmetrieannahmen. Aus den Arbeitsbewegungen folgen unter geeigneten Annahmen vorab zu berechnende Massenkräfte, die als Schwingungserregung wirken. Ergebnis ist die lineare Bewegungsdifferentialgleichung des Ersatzsystems. Sie wird am Ende mathematisch eingeordnet und Bewegungsgleichungen anderer Schwinger gegenübergestellt.

Der Feder-Masse-Dämpfer-Schwinger ist in der Schwingungslehre ein allgegenwärtiges Vergleichsmodell für mannigfache Untersuchungen. Seine freien Schwingungen werden durch nicht explizit von der Zeit abhängige Bewegungsdifferentialgleichungen erfasst. Für den Schwinger gilt die einfachste Bewegungsgleichung dieser Art, die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die in der Schwingungslehre üblichen bezogenen Parameter und Schreibweisen werden eingeführt. Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt komplex über einen Exponentialansatz. Das Eigenwertproblem führt zu Eigenfrequenz(en) bzw. Eigenwert(e). Die Zeitverläufe der ungedämpften und der gedämpften Schwingungen werden ausgedeutet und begrifflich gefasst.

Auf die Masse des Feder-Masse-Dämpfer-Schwingers wirkt eine sinusförmig schwingende Erregerkraft. Daraus kann man andere periodische Erregungen zusammensetzen. Der reellen Berechnung der ebenfalls sinusförmigen erzwungenen Schwingung ist leicht zu folgen. Diagramme mit Vergrößerungsfunktionen zeigen, wie die Wirkung einer statischen Kraft vergrößert wird, wenn sie schwingt. Liegt die Erregerfrequenz nahe der Eigenfrequenz, treten starke Überhöhungen auf. Das Untersuchen von Schwingungen im Komplexen bietet den Vorteil, dass man die Wirkungen der Kräfte auf den Schwinger als Produkt schreiben kann. Dies nutzt man zum Beispiel in Blockschaltbildern der Regelungstechnik, um Wirkungs- und Signalketten anzuschreiben. Es wird hier eingeführt und bei einem seismischen Schwingungsaufnehmer angewendet. Abschließend wird eine nichtperiodische Schwingungsanregung als Folge kurzzeitiger Stöße betrachtet. Dies eignet sich auch zur experimentellen Analyse von Systemen.

Das Ersatzsystem der Exzenterpresse aus Kapitel 4 wird gemäß den Überlegungen aus Kapitel 6 untersucht. Erregungen sind einerseits die Bewegungen des Bodens und andererseits die in Kapitel 4 ermittelten Massenkräfte. In beiden Fällen handelt es sich um erzwungene Schwingungen, die Gleichungen werden aber unterschiedlich angeschrieben und aufgelöst, die Lösungen sachgerecht gelesen. Es wird reell gerechnet, neue Vergrößerungsfunktionen tauchen auf. Kritischer Punkt ist stets die Eigenfrequenz des Einmassenschwingers, auf den die federnd gelagerten Pressen abgebildet sind. Je nach Aufgabe kann eine Erregerfrequenz unter- oder oberhalb der Resonanzstelle günstig sein, evtl. also Parameteränderungen erfordern. Aktivisolierung zum Schutz der Umgebung vor einer schwingenden Maschine und Passivisolierung zum Abschirmen einer Maschine gegen eine schwingende Umgebung erfordern beide eine tiefe Abstimmung. Dazu muss die Eigenfrequenz der Maschine klein, die Federung also weich sein.

Unmittelbar nach dem Einschalten einer Schwingungserregung - während ihres Anlaufs und einer Weile danach - schwingt das erregte System instationär, d. h. die momentane Amplitude und die momentane Kreisfrequenz ändern sich. Nach dem Übergang der Erregung in den periodischen Verlauf oder auch nach dem Aufhören der Erregungen klingen die Anfangsstörungen je nach Größe der Dämpfung mehr oder minder rasch ab.

Einschwingvorgänge werden selten untersucht, denn quantitative Aussagen lassen sich in der Regel nur numerisch für ein vorliegendes System mit konkreten Parametern gewinnen. Hier stellen wir die allgemeinen Überlegungen zusammen und beispielhaft einen numerischen Berechnungsweg vor.

Mit Zweimassen-Dehnschwinger, Zweimassen-Torsionsschwinger und parallel zu einer Ebene schwingender Punktmasse, alles drei Beispiele für ungedämpfte Schwinger vom Freiheitsgrad zwei, wird gezeigt, dass ihre jeweils zwei linearen Bewegungsgleichungen in einheitlicher Form geschrieben werden können. Besonders deutlich wird die gemeinsame Struktur, wenn man die Auslenkungen in Spaltenmatrizen und die Koeffizienten in Matrizen zusammenfasst. Stellt man die skalare Bewegungsgleichung des Feder-Masse-Schwingers neben die Matrixgleichung, unterscheiden sie sich äußerlich nur durch die Formelzeichen. Das Lösungsvorgehen ist ähnlich wie beim Schwinger mit einem Freiheitsgrad in den Kapiteln 5 und 6.

Freie Schwingungen: Der Weg lautet jetzt: Exponentialansatz → Eigenwertproblem → Eigenfrequenzen → Eigenvektoren. Für die Eigenfrequenzen muss eine biquadratische Gleichung gelöst werden, die zugehörigen Bewegungsformen erhält man mit Hilfe der Ausgangs-Bewegungsgleichung.

Erzwungene Schwingungen: Der Struktur nach einfach, im Detail schwierig wird das Lösen, weil inverse Matrizen an die Stelle von skalaren Teilern treten. Numerisch ermittelte Resonanzstellen liegen bei den beiden Eigenfrequenzen. Sehr wichtig ist hier, dass der Leser mit den Darstellungen der Lösungen in Diagrammen und deren Ausdeutungen vertraut gemacht wird.

In den jeweiligen Eigenfrequenzen bewegt sich ein n-Massenschwinger in den zugehörigen Eigenschwingungsformen (engl. normal modes). Mit Hilfe der Eigenvektoren kann man die Matrix-Bewegungsgleichungen entkoppeln. Hierdurch entstehen n einzelne Bewegungsgleichungen, deren Lösungen überlagert werden. Damit das gelingt, und man analog zu kartesischen Projektionen rechnen und denken kann, wird das Skalarprodukt der Vektorrechnung im dreidimensionalen Raum entsprechend abgewandelt und gezeigt, dass die Eigenvektoren orthogonal sind. Die Transformation auf die Modalkoordinaten lässt sich dann leicht anschreiben. Auch erzwungene Schwingungen werden hiermit erfasst. Die Modaltransformation ist bei der Analyse großer Systeme sehr vorteilhaft. Sie gilt in dieser einfachen Form bei gedämpften Schwingern nur, wenn die Dämpfungsmatrix in eine Linearkombination von Trägheits- und Steifigkeitsmatrix verwandelt wird. Dieses oft nach Rayleigh benannte Vorgehen entspricht einem Wechsel von Stärke und Anordnung der Dämpferelemente.

Drehschwingung ist der allgemeine Begriff, Torsion wird nur betont, wenn man eine Wellenverformung hervorheben will. An einem Drehschwinger vom Freiheitsgrad drei wird zuerst das Ansetzen einer Bewegungsgleichung nach Lagrange demonstriert. Dabei braucht man keine Schnittbilder, falls sich die Wirkung der elastischen Kräfte und Momente durch Potentiale erfassen lässt. Die Bewegungsgleichung erhält nach diesem Schemaverfahren unmittelbar die günstige Form mit symmetrischen Koeffizientenmatrizen. Beim Schwinger mit Übersetzungsgetriebe vereinfachen sich die Vorzeichenüberlegungen, Fehlerquellen werden vermieden. Das System lässt sich auch auf eine durchlaufende Welle „ohne Getriebe“ reduzieren, was die Deutung der Schwingungsformen vereinfacht. An freien Drehschwingern kann man Eigenschwingungsformen besonders anschaulich darstellen, wenn zwischen gegeneinander schwingenden Systemteilen ruhende Schwingungsknoten auftreten. Bei erzwungenen Schwingungen wandern die Knoten mit wechselnder Erregerfrequenz durch das System. Anhand der Modalkoordinaten aus Kapitel 10 lassen sich Einzelheiten, wie beispielsweise Tilgungseffekte, im Einzelnen durchschauen und nachvollziehen.

Oft sind Rotorlager nicht steif gegenüber der Welle und dürfen dann nicht als starr angenommen werden. Meistens haben Lagerböcke auch vertikal und horizontal unterschiedliche Steifigkeiten, sie sind anisotrop. Es wird ein Modell für einen Lagerbock entwickelt, der selbst zwar starr ist, doch auf einem elastischen Balken so steht, dass Lasten das Lager absenken und horizontal auslenken können. Die linearen Kopplungen zwischen den Lasten und den Auslenkungen werden durch Einflusszahlen, Nachgiebigkeiten oder Steifigkeiten erfasst und als Nachgiebigkeits- bzw. Steifigkeitsmatrix geschrieben. Zusätzlich eingeführte Dämpfungs-Einflusszahlen berücksichtigen die Energiedissipation, z. B. in den Maschinenhausboden. Zum rechnerischen Umgehen mit diesem Modell wird am Lager eine Masse angebracht, dafür Eigen- und erzwungene Schwingungen berechnet. Es werden frequenzabhängige, komplexwertige Übertragungsfunktionen in Matrixschreibweise für dynamische Steifigkeiten und Nachgiebigkeiten eingeführt, die der Sichtweise der Messtechnik entsprechen, wo die Frequenzgänge der erzwungenen Schwingungen als Ortskurven in der komplexen Ebene dargestellt werden; der Zusammenhang mit der reellen Sicht wird aufgezeigt.

In diesem Kapitel wird der Rotor aus Kapitel 12 auf zwei nahezu gleiche Lagerböcke nach Kapitel 13 gesetzt. Eigen- und erzwungene Schwingungen werden überwiegend komplex berechnet. In Matrixschreibweise spiegelt sich das Zusammensetzen der Teilsysteme Lagerböcke A, B mit Rotor S in der Bewegungsgleichung durch gekoppelte Blockmatrizen. In den Eigenschwingungen schwingt das System räumlich. Bei Lager-Isotropie ist Instabilität möglich; hinreichend große Anisotropie stabilisiert! Bei unwuchterregten Schwingungen laufen Lagerzentren und Scheibenzentrum auf ellipsenähnlichen Bahnen um.Ellipsenformen und jeweiliger Umlaufsinn gegenüber der Wellendrehung hängen von der Frequenz ab. Sitzt die Scheibe geneigt auf ihrer Welle, kommt bei den Schwingungen Kreiselwirkung ins Spiel. Am Wellendurchstoßpunkt W müssen die beiden Biegewinkel der Welle, die Schwankungen der Kippwinkel der Scheibe, als zusätzliche Koordinaten eingeführt werden. Linearisierte Kreiselgleichungen werden nach geeigneten Koordinatenumformungen mit Hilfe des Lagrange-Formalismus hergeleitet. Als Beispiel dient eine fliegend gelagerte Kreiselscheibe, für die freie und erzwungene Schwingungen reell und komplex berechnet und interpretiert werden.

Saiten, Wellen, Balken sind Beispiele für eindimensionale Kontinua. Das sind Modelle, deren räumliche Masseverteilung sich durch eine Längskoordinate z. B. x erfassen lässt. Der Ort und die Winkelstellung im Raum werden dann durch drei und mehr Funktionen von x und der Zeit t erfasst. Ein Kontinuum-Modell heißt vom funktionalen Freiheitsgrad eins, falls zum Beschreiben der Bewegungen eine dieser Funktionen genügt. Beim Drehschwinger ist der Drehwinkel φ(x,t) die gesuchte Funktion. Die Bewegungsgleichung für die Torsionswelle ist eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung nach Ort und Zeit. Zweite Ordnung nach dem Ort erfordert zwei Randbedingungen, das ist jeweils das Momentengleichgewicht zwischen Welle und mitschwingender Drehmasse. Für die freien Schwingungen gilt wieder (vgl. Kapitel 9): Exponentialansatz → Eigenwertproblem → Eigenfrequenzen → Eigenformen, nur erfordern die Einzelschritte jetzt Teilüberlegungen für das Kontinuum, d.h. die partielle Differentialgleichung und die Scheiben, deren Schwingungen in die Randbedingungen eingehen. Die Frequenzgleichung ist transzendent und führt auf unendlich viele Eigenfrequenzen, die zugehörigen Eigenformen sind jetzt Funktionen von x; bei fortlaufender Zählung kommt mit jeder Eigenfrequenz ein Knoten hinzu. Bei sinusförmiger Erregung ist die Frequenz bekannt, das Erregermoment geht in die Randbedingungen ein. Die Rechnungen sind wegen der bekannten Frequenz einfacher. Zu jeder Eigenfrequenz gehört eine Resonanzstelle.

Unter Diskretisieren – Vereinzeln – eines Kontinuums versteht man das Einschränken der oft unüberschaubaren Mannigfaltigkeit seiner Bewegungsmöglichkeiten auf relativ wenige, überschaubare, die man für wichtig hält. Bei den eindimensionalen technischen Kontinua hat man bereits vereinfacht, indem man Querschnittsverformungen unbeachtet gelassen oder speziell gebunden hat. Ihre Bewegungen werden jedoch immer noch durch partielle Differentialgleichungen beschrieben. Vom Diskretisieren spricht man erst dann, wenn man die Bewegungen des Systems durch einzelne Variablen erfasst. Das diskrete Modell wird im Allgemeinen durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben. Zwei Vorgehensweisen werden an je einem Beispiel erklärt: a) Man setzt für einzelne Komponenten seines Systems geeignete Verformungstypen mit freien Parametern an. b) Man zerlegt sein System in kleine (finite) Elemente mit abzählbaren Knotenpunkten, für die man schematisch sehr einfache Verformungstypen ansetzt.

Auf einer Kranbrücke (Biegebalken) steht eine Laufkatze, die an einem Seil eine Last trägt. Wie schwingt das System, wenn die Last plötzlich abfällt? Die partielle Differentialgleichung für die Balkenbiegung ist von vierter Ordnung nach dem Ort. Die aufgesetzte diskrete Masse von Laufkatze mit Last liegt im Feld. Daher muss man das System zum Ansetzen der Schwingungsformen in zwei Balkenstücke und die Punktmasse zerschneiden, nach Exponentialansatz die Balkengleichung bereichsweise lösen und mit jedem der beiden Teile je zwei Rand- bzw. Übergangsbedingungen erfüllen. Für die tieferen Eigenschwingungen gewinnt man mit diskreten globalen Ansatzfunktionen, leichter und schneller brauchbare Näherungslösungen. Die Schwingungen unmittelbar nach Lastabfall folgen durch Entwickeln der statischen Biegelinie infolge des Gewichts der Last nach den Eigenfunktionen. Diskret ist das formal einfach, muss allerdings numerisch gelöst werden. Für eine strenge Lösung muss man die Biegelinie nach den unendlich vielen Eigenfunktionen entwickeln. Das gelingt, wenn man deren Orthogonalität ausnutzt. Die Lösung lässt sich formal anschreiben.