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2017 | Book

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So einfach ist Mathematik - Zwölf Herausforderungen im ersten Semester

Authors: Prof. Dr. Dirk Langemann, Vanessa Sommer

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Sie stehen am Anfang Ihres Studiums oder in den ersten Semestern, und Ihr Studium enthält Mathematik. Kein Grund zur Verzweiflung. Mathematik ist logisch, und Sie denken logisch. Dieses Buch widmet sich zwölf Themen aus der Analysis und der linearen Algebra, veranschaulicht die zentralen Begriffe und entwickelt ausführlich die grundlegende Gedankengänge.

Das Buch ist aus Erfahrungen von Studierenden entstanden. Es bespricht typische Fragen und Schwierigkeiten. Es übersetzt mathematische Beschreibungen in bildliche Vorstellungen, und es erklärt, warum die Definitionen der Begriffe gerade so formuliert sind, wie Sie sie kennen lernen. Jedes der zwölf Kapitel behandelt eine Herausforderung: die Grenzwertdefinition, die komplexen Zahlen, Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen, die Taylor-Entwicklung und die Stetigkeit von Funktionen. Verbindungen zu alltäglichen Beobachtungen und praktischen Anwendungen werden Ihnen schwierige Begriffe wie den Kern einer Abbildung oder Eigenwerte zugänglich machen.

Das Buch erzählt die mathematischen Zusammenhänge in leichtem Ton. Kleinere Aufgaben regen Sie an, eigene Ideen, Skizzen und Ansätze zu entwickeln. Sie werden erleben, wie natürlich auch abstrakt erscheinende mathematische Zusammenhänge sind, und Sie werden zu den Herausforderungen sagen: Ja, so einfach ist Mathematik.

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Table of Contents

Frontmatter

1. Folgen und Grenzwerte: Was verrät mir die verzwickte Grenzwertdefinition?

Zusammenfassung

Fast jede Mathematikvorlesung behandelt die Definition des Grenzwerts einer Folge, und diese Grenzwertdefinition sieht furchterregend mathematisch aus. Dieses Kapitel erklärt die Definition und ihre einzelnen Bestandteile langsam und mit Beispielen und anschaulichen Interpretationen. Vorher werden Folgen eingeführt, unterschiedliche Bildungsgesetze vorgestellt und Begriffe wie Monotonie und Beschränktheit erläutert. Dann benutzen wir die Definitionen und üben den Umgang mit den Begriffen, indem wir typische Grenzwerte bestimmen und nützliche Zusammenhänge beweisen. Das Kapitel schließt mit einem Ausblick auf die Landauschen Ordnungssymbole und das Konzept der Häufungspunkte. Am Ende des Kapitels werden Sie sich von mathematisch formulierten Definitionen und Zusammenhängen keine Angst mehr einjagen lassen, und die verzwickte Grenzwertdefinition verliert ihren Schrecken.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

2. Reihen: Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren?

Zusammenfassung

Kapitel 2 beginnt damit, dass ein Camembert durch fortwährende Halbierung eines immer kleineren Stücks in unendlich viele Stücke zerschnitten wird. Die Summe der unendlich vielen Stücke führt uns auf den Begriff der Reihe. Wir thematisieren den Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe und erklären, warum die Reihe als Folge ihrer Partialsummen definiert ist. Die Überlegungen zum Grenzwert von Folgen aus dem ersten Kapitel übertragen wir auf die Konvergenz und die absolute Konvergenz einer Reihe, und wir zeigen, dass entscheidende Unterschiede zwischen beiden Konzepten bestehen. Als prominente Reihen treten die geometrische Reihe, die Exponentialreihe und die harmonische Reihe auf. Mit dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium erhalten Sie Werkzeuge, um Reihen auf ihre Konvergenz zu prüfen, und natürlich wenden wir sie auf Beispiele an.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

3. Komplexe Zahlen: Wie rechnet man mit etwas, das es nicht gibt?

Zusammenfassung

Die komplexen Zahlen sind für viele etwas nicht Vorstellbares, gar etwas Mystisches, und die imaginäre Einheit macht ihrem Namen alle Ehre. So wie wir in der Grundschule 2-5 nicht lösbar fanden und doch später die negativen ganzen Zahlen kennengelernt haben, erweitern wir hier den uns vertrauten Zahlbereich der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen. Sie lernen die Gaußsche Zahlenebene und die Polardarstellung komplexer Zahlen kennen, rechnen mit komplexen Zahlen und beschäftigen sich mit der Eulerschen Identität, die einen wahrhaft zauberhaften Zusammenhang herstellt. Schließlich enthält der Hauptsatz der Algebra den eigentlichen Gewinn der Zahlbereichserweiterung. Selbstverständlich erfahren Sie auch etwas darüber, wo komplexe Zahlen gebraucht werden. Sie freunden sich in diesem Kapitel mit den komplexen Zahlen an und finden es nicht mehr schwierig, Wurzeln aus ihnen zu ziehen.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

4. Funktionen: Sind eine Eheschließung und ein Ehepaar dasselbe?

Zusammenfassung

Zuerst klärt Kapitel 4, was eine Eheschließung und ein Ehepaar mit mathematischen Funktionen zu tun haben. Sie überprüfen Ihre Vorstellung von einer Funktion mit Hilfe einer strengen Definition der Funktion. Wir beleuchten die Einzelteile der Definition genau und lernen die scheinbar kleinen Informationen in mathematischen Formulierungen zu deuten. Die Wichtigkeit der Festlegung von Definitions- und Wertebereich wird an der Injektivität und Surjektivität von Funktionen erprobt. Das Konzept der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion wird hier unabhängig von Rechnungen vorgestellt, und Sie werden die Idee der Umkehrfunktion als etwas Naheliegendes empfinden. Außerdem bespricht dieses Kapitel den abstrakteren Zugang zum Funktionsbegriff als Teilmenge des kartesischen Produkts von Definitions- und Wertebereich. Sie werden erleben, dass selbst abstrakte Definitionen verständlich werden, wenn man Bilder und einfache Beispiele zu Hilfe nimmt.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

5. Stetigkeit: Kann man einen Strich nur einen Punkt lang zeichnen?

Zusammenfassung

Manche Funktionsgraphen kann man mit einer Linie zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. Diese Beschreibung der Stetigkeit einer Funktion ist anschaulich, aber wir zeigen, dass sie nicht für alle Fragen mathematisch tragfähig ist. Dieses Kapitel erläutert, wie Sie die beiden mathematischer formulierten Beschreibungen der Stetigkeit, nämlich das Folgenkriterium und das – Kriterium, an gänzlich unmathematischen Orten wiederfinden und lebenspraktisch interpretieren. Sie werden danach an die Stetigkeit von Funktionen denken, wo Ihnen dies vorher nicht in den Sinn gekommen wäre, beispielsweise unter der Dusche bei Ihrem nächsten Aufenthalt in einem preisgünstigen Hostel. Wir diskutieren, wie die zwei Stetigkeitsdefinitionen zueinander stehen, und Sie verstehen, warum Stetigkeit ein Punktbegriff ist. Mit dem Zwischenwertsatz und dem Satz, dass stetige Funktionen ihre Extrema annehmen, werden zwei nützliche Eigenschaften stetiger Funktionen bewiesen – eine, die voll und ganz unserer Anschauung folgt, und eine, bei der wir ohne den mathematischen Formalismus in die Irre laufen könnten.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

6. Vektoren und Vektorräume: Wissen Mathematiker nicht, was ein Vektor ist?

Zusammenfassung

Wir stellen uns die Frage, was es bedeutet zu wissen, was ein Vektor ist. Dazu denken wir über algebraische Strukturen wie Körper und Gruppen und ihre mathematische Definitionen nach. Über die geforderten Eigenschaften, die als Axiome formuliert werden, wird die algebraische Struktur des Vektorraums definiert. Neben den Euklidischen Vektorräumen lernen Sie auch den Raum C([a,b]) der stetigen Funktionen über einem abgeschlossenen Intervall kennen und können damit auch Funktionen als Vektoren interpretieren. Die Begriffe der Linearkombination und der linearen Hülle beinhalten bereits das Konzept des Vektorraums und lassen die Axiome als natürliche Forderungen an Vektoren erscheinen. Sie werden verstehen, dass nicht nur Pfeile Vektoren sind, und Sie werden allgemeine Vektoren von Vorstellungen zu Vektoren in bestimmten Anwendungen trennen.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

7. Lineare Unabhängigkeit: Kann man mit Vektoren alles machen?

Zusammenfassung

Der zentrale Inhalt des Kapitels 7 ist die Herausforderung, die das Konzept der linearen Unabhängigkeit von Vektoren für Sie bereithält. Sie erfahren dieses Konzept am kleinsten erklärenden Beispiel von drei Stiften, die Sie als ebenen Fächer oder als echt dreidimensionales Dreibein in der Hand halten können. Diese Anschauung wird Ihnen die formale Definition der linearen Unabhängigkeit zugänglich machen. Wir festigen das Verständnis durch geometrische Beispiele und Anwendungen. Vorher zeigen wir Ihnen, dass Vektoren als Vektoren behandelt werden wollen und in welche Fallstricke Sie durch Übergeneralisierungen geraten. Sie lernen die Begriffe der Basis und der Dimension eines Vektorraums kennen, und das Kapitel schließt mit dem Euklidischen Skalarprodukt, der Gleichung für einen Kreis und die Beschreibung des Betrags eines Vektors als Abstand vom Nullpunkt. Mithilfe von Vektoren beweisen wir den Satz von Pythagoras sehr direkt.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

8. Lineare Abbildungen: Ist die Reihenfolge von Handlungen vertauschbar?

Zusammenfassung

Die Linearität einer Abbildung wird über die Vertauschbarkeit der Wirkung der Abbildung mit der Bildung der Linearkombination beschrieben. Um dies zu verstehen beginnen wir mit ganz alltäglichen Beispielen vertauschbarer und nicht vertauschbarer Handlungen: Haare kämmen und sich photographieren, ankleiden und das Haus verlassen, den linken Schuh anziehen und den rechten Schuh anziehen. Falls Sie sagen: „So einfach kann es in der Mathematik nicht sein.“, zeigen wir Ihnen: Doch! So einfach ist Mathematik. Und so einfach ist die Definition der Linearität einer Abbildung. Aufbauend auf den Alltagsbeispielen sprechen wir auch über lineare Abbildungen in Euklidischen Räumen und Matrizen. Wir zeigen Ihnen, dass Sie die Linearität beim Ableiten und Integrieren benutzen und dass die Linearität von Abbildungen eine außergewöhnliche und außergewöhnlich nützliche Eigenschaft ist. Überall wird sie verwendet, in fast allen Wissenschaften und sogar beim Brötchenkauf.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

9. Kern und Bild: Sind Sonne und Schatten mathematische Gebilde?

Zusammenfassung

Die Begriffe des Kern und des Bilds einer linearen Abbildung oder des Matrixrangs sind echte Herausforderungen in jeder Mathematikvorlesungen. Wir zeigen Ihnen, was sie mit Sonne und Schatten zu tun haben und warum jeder Sonnentag Ihnen ein Beispiel für diese Begriffe schenkt. Wir illustrieren die Wirkung linearer Abbildungen und verschaffen uns eine innere Vorstellung vom Dimensionssatz. Nach der Herleitungen von Bedingungen für die Surjektivität und Injektivität linearer Abbildungen zwischen Euklidischen Vektorräumen, beschäftigen wir uns mit den Grundgedanken der Behandlung unterbestimmter Gleichungssysteme. Schon bei übersichtlichen Beispielen aus dem Alltag wird deutlich, wie hilfreich z.B. der Begriff des Kerns der Abbildung ist.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

10. Eigenwerte und Eigenvektoren: Was ist eigen am Eigenwert?

Zusammenfassung

Eigenwerte und Eigenvektoren sind Herausforderungen vieler Mathematikvorlesungen. Damit sie nicht zum Stolperstein werden, beschäftigt sich dieses Kapitel ausführlich mit der Interpretation von Eigenvektoren als konservierte Richtungen einer linearen Abbildung. Wir illustrieren sie an physikalischen und geometrischen Beispielen. Danach erhalten Sie einen Ausblick auf Schwingungen als dem Haupteinsatzgebiet von Eigenwerten. Autokarosserien, Musikinstrumente, Ökosystemen und viele andere Anwendungen schwingen. Kapitel 10 bespricht den Federschwinger als Ausblick auf gewöhnliche Differentialgleichungen und die schwingende Saite, die sogar auf partielle Differentialgleichungen führt. Wir finden die Naturtöne und können nun auch mathematisch begründen, dass ein Cello tiefer als eine Geige klingt.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

11. Taylor-Entwicklung: Kann Mathematik prophezeien?

Zusammenfassung

Mathematik und Prophezeiungen - das klingt vielversprechend. Wir prophezeien jedoch nicht die Lottozahlen, sondern den Verlauf von Kurven und Zusammenhängen. Dieses Kapitel stellt Ihnen die Idee der Taylor-Polynome als Annäherungen an unbekannte oder bekannte Funktionen vor. Es fragt, wann die Annäherung gut oder gar perfekt ist und wie man die verbleibende Differenz im Restglied abschätzt. Als Konsequenz aus den Taylor-Polynomen lernen Sie die Taylor-Reihe und als prominente Vertreter die Exponentialreihe und die Sinusreihe kennen. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion der Regel von de l'Hospital und ihrer anschaulichen Interpretation.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

12. Landau-Symbole: Warum sollte man ungenau rechnen?

Zusammenfassung

Dieses letzte Kapitel beschäftigt sich mit dem Einsatz und Anwendungen des Landauschen Ordnungssymbols. Anhand von Alltagsbeispielen sehen wir, dass Ungenauigkeiten nichts Negatives sein müssen, sondern dass ungefähre Rechnungen von großer praktischer Bedeutung sind. Wir verdeutlichen diese Überlegungen am Zeitbedarf von Algorithmen, an der Abschätzung von Baukosten und innermathematisch an Herleitung von Differenzenquotienten zur numerischen Approximation von Ableitungen. Sie werden die wunderbar schlichte Notation mit dem Landau-Symbol, das die Peanuts verschlucken kann, mindestens mögen, wenn nicht lieben.

Dirk Langemann, Vanessa Sommer

Backmatter

Title: So einfach ist Mathematik - Zwölf Herausforderungen im ersten Semester
Authors: Prof. Dr. Dirk Langemann
Vanessa Sommer
Copyright Year: 2017
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-54720-5
Print ISBN: 978-3-662-54719-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-54720-5

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