6. Spektralanalyse und lineare Filter

Auszug

Bisher wurde eine Zeitreihe (stochastischer Prozess) als eine mit der Zeit indexierte Folge von Zufallsvariablen aufgefasst. Dabei diente die Klasse der ARMA-Prozesse als adäquater Rahmen für die Modellierung stationärer stochastischer Prozesse. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Analyse im Zeitbereich. Es gibt jedoch einen anderen, äquivalenten Zugang. Dieser fasst die Zeitreihe als eine „Summe“ von sich überlagernden Schwingungen auf. Die Analyse dieser Schwingungen wird als Analyse im Frequenzbereich bezeichnet. Für viele Fragestellungen ist die Analyse im Frequenzbereich besser geeignet. Dies trifft insbesondere auf die Analyse und Konstruktion von linearen zeitinvarianten Filtern zu. Diese Filter bilden gewichtete gleitende Durchschnitte einer Ausgangszeitreihe, wodurch eine neue gefilterte Zeitreihe mit veränderten Eigenschaften entsteht. So können z. B. ARMA-Prozesse {X_t} als gefilterte White-Noise-Prozesse mit Gewichten ψ_j, j = 0, ±1, ±2, …, aufgefasst werden. Dabei wird das Weiße Rauschen {Z_t} in einen Prozess X_t = Ψ(L)Z_t transformiert. Während das Weiße Rauschen {Z_t} kein Gedächtnis besitzt, kann der so transformierte Prozess eine vielfältige Autokorrelationsfunktion aufweisen. Die Funktion \(\psi (z)=\sum _{j=-\infty }^\infty \psi _j z^j\) wird als Filter bezeichnet. …