Statistik für Ökonomen

Das R-Programm können Sie kostenlos für verschiedene Betriebssysteme von der R-Projektseite www.r-project.org herunterladen. Die Installation von R unter Windows erfolgt mit R-x.x.x-win.exe. Die Versionsnummer x.x.x ändert sich regelmäßig. Ein Menü führt durch die Installation. Das R-Programm wird durch das R-Symbol gestartet, welches nach der Installation auf dem Schreibtisch (Desktop) des Computers liegt. Es handelt sich dabei um die GUI (graphical user interface) Version. Es existiert auch eine Terminalversion auf die hier nicht eingegangen wird.

Ohne Daten ist in den meisten Fällen eine statistische Analyse nicht möglich. Zur anschaulichen und realistischen Beschreibung der hier eingesetzten statistischen Verfahren werden die Schlusskurse der BMW Aktie (Börsenplatz Frankfurt) vom 09.08. bis 16.11.04 als Grundlage verwendet. Sie stammen von der Internetseite des Handelsblattes.

Die Grundbegriffe der Statistik dienen dazu, das Vokabular und die Symbole festzulegen, um Beobachtungen zu beschreiben.

Die Datenanalyse beginnt häufig damit, dass die Werte in einer einfachen Grafik dargestellt werden. Im Fall von zeitlich geordneten metrischen Daten ist dies eine Verlaufsgrafik.

Die Häufigkeitsfunktion ist eine der einfachsten statistischen Funktionen. Sie zählt Merkmalswerte gleicher Ausprägungen zusammen. n(x) wird als absolute Häufigkeit bezeichnet. Sie ist die Anzahl der Elemente der Menge, für die das Merkmal X die Merkmalsausprägung x besitzt.

Einer der nächsten Analyseschritte ist oft die Berechnung des arithmetischen Mittels (synonym: Durchschnitt), sofern metrische Werte vorliegen. Die Bedeutung des arithmetischen Mittels resultiert aus seiner Verwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Der Median x_0.5 ist der kleinste Wert, der mindestens 50 Prozent der aufsteigend geordneten Werte erfasst.

Die Kenntnis über einige Werte und das Zentrum einer Verteilung geben in den meisten Fällen nur eine unvollständige Vorstellung über die gesamte Verteilung. Eine Grafik zeigt häufig sehr viel besser die Verteilung der Werte. Daher werden in den folgenden Abschnitten einige grafische Darstellungen einer Verteilung erklärt.

Neben dem Zentrum, hier durch Mittelwert und Median beschrieben, ist auch die Streuung der Werte von Interesse. In Abb. 8.2 sieht man deutlich, dass der Kurs der BMW Aktie im Vergleich zur BASF Aktie nicht so stark variiert. Mit der Varianz, der Standardabweichung und dem Variationskoeffizienten wird die Streuung der Werte durch eine Zahl gemessen.

Damit eine Konzentrationsmessung sinnvoll interpretierbar ist, müssen die beobachteten Werte in der Summe interpretierbar sein. Das Merkmal muss extensiv messbar sein. Die Summe der Aktienschlusskurse erlaubt keine sinnvolle Interpretation. Lediglich der Mittelwert ist interpretierbar. Dieses Merkmal wird als intensiv bezeichnet. Hingegen ist das gehandelte Volumen (Umsatz) auch in der Summe als Gesamtvolumen interpretierbar. Es wird also untersucht, ob das Handelsvolumen der BMW Aktie eine Konzentration aufweist.

Der relative Zuwachs zwischen zwei Werten (hier zwischen den Zeitpunkten i−1 und i) wird durch.

Indexzahlen sind oft die Grundlage zur Beschreibung wirtschaftlicher Entwicklungen wie z. B. der Entwicklung des Preisniveaus von Konsumgütern oder von Aktien.

Bisher haben Sie die deskriptive statistische Analyse eines Merkmals kennengelernt. Die Bilanz dient der Wiederholung und bereitet Sie auf die Prüfung vor.

Mit den folgenden beiden grafischen Darstellungen wird die Verteilung von zwei Merkmalen dargestellt.

Mit der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten können zwei Merkmale gemeinsam untersucht werden. Sie messen einen statistischen Zusammenhang zwischen den Merkmalen.

In den folgenden Abschnitten wird die lineare Regressionsanalyse beschrieben. Sie ist ein Instrument, um Abhängigkeiten zwischen zwei (oder mehr) Variablen zu untersuchen. Es wird im einfachsten Fall von einer linearen Beziehung bzgl.

Die Residuen sollten keine Systematik enthalten. Dies bedeutet, dass keine erkennbare Struktur vorhanden ist, die auf eine falsche Modellgleichung, Autokorrelation oder Heteroskedastizität schließen lässt.

In den letzten Abschnitten wurde die Kleinst-Quadrate Regression und die Quantils-Regression vorgestellt. Prüfen Sie, ob Sie die Kleinst-Qudrate Regression verstanden haben.

Max Frisch hat auf den ersten Seiten seines Romans ‹Homo Faber› in wunderbarer Weise Wahrscheinlichkeit interpretiert. Er lässt seinen Protagonisten Walter Faber, der die Welt, das Leben anfangs als berechenbare Größe auffasst, eine Reihe von Ereignissen erleben, die ihn dazu führen, am Ende doch nicht mehr alles als berechenbar anzusehen.

Eine ZufallsvariableX transformiert ein Ereignis A in eine reelle Zahl. Der Wert der Zufallsvariablen hängt vom Ausgang des Zufallsexperiments ab. Das Ereignis A (häufig verbal formuliert wird gerade/ungerade Zahl, Alter einer Person) wird auf eine reelle Zahl abgebildet, damit gängige mathematische Operationen möglich sind.

Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung. Ihre besondere Bedeutung liegt darin, dass sie eine Grenzverteilung für viele stochastische Prozesse ist. Diese Eigenschaft ist in Grenzwertsätzen erfasst. Einer davon ist der zentrale Grenzwertsatz (siehe Abschnitt 25.4).

Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Ereignissen $$ A = 1 $$ (Erfolg) und $$ \bar{A} = 0 $$ (Misserfolg). Ein einzelnes Experiment nennt man ein Bernoulliexperiment. Die Zufallsvariable für dieses einzelne Experiment wird als Bernoullizufallsvariable Y _i bezeichnet.

In den letzten Abschnitten sind die Grundzüge derWahrscheinlichkeitsrechnung, einige wichtige Verteilungen und deren Anwendungen beschrieben worden.

Bereits im vorhergehenden Abschnitt haben wir die unbekannten Erwartungswerte und Varianzen aus einer Stichprobe berechnet. Wir haben dazu die bereits bekannten Formeln für den Mittelwert und die empirische Varianz verwendet. Werden die aus der Stichprobe berechneten Maßzahlen Mittelwert und empirische Varianz als Werte für die unbekannten Parameter Erwartungswert und Varianz angesehen, dann handelt es sich umden Vorgang einer Schätzung.

Es wird im Folgenden angenommen, dass die Zufallsvariablen X₁,…,X _n unabhängig voneinander und identisch verteilt (engl. i. i. d. = independently identically distributed) sind. Dies ist eine wichtige Voraussetzung für die Gültigkeit der folgenden Ergebnisse. Man schreibt diese Annahme häufig als.

In den folgenden beiden Kapiteln 26 und 27 wird die sogenannte induktive Statistik erläutert, das Zusammenführen von Datenanalyse (deskriptiver Statistik und Regression) auf der einen Seite und derWahrscheinichkeitstheorie (theoretischerWert aus einerWahrscheinlichkeitsverteilung) auf der anderen Seite. Mit der induktiven Statistik wird aus dem Speziellen, der Stichprobe, auf das Allgemeine, die Grundgesamtheit, mittels der Wahrscheinlichkeitstheorie geschlossen.

Der statistische Test und das Konfidenzintervall (siehe vorherigen Abschnitt) beruhen auf den gleichen statistischen Prinzipien und sind Teil der induktiven Statistik. Bei einem statistischen Test wird ein Hypothesenpaar, bestehend aus einer Nullhypothese H₀ und einer Alternativhypothese H₁, anhand einer statistischen Verteilung überprüft.

Ein Marktforschungsinstitut führt jährliche Untersuchungen zu den monatlichen Lebenshaltungskosten durch. Die Kosten für einen bestimmten Warenkorb belaufen sich in den letzten Jahren auf durchschnittlich 600 Euro. Im Beispieljahr wird in einer Stichprobe von 40 zufällig ausgewählten Kaufhäusern jeweils der aktuelle Preis des Warenkorbs bestimmt.

Die Varianzanalyse ist ein Verfahren, das die Wirkung einer oder mehrerer unabhängiger Variablen auf eine oder mehrere abhängige Variablen hin untersucht. Wie in der Regressionsanalyse, die einen gerichteten Erklärungszusammenhang in der Regel über metrische Variablen herstellt, formuliert auch die Varianzanalyse einen solchen Zusammenhang, allein mit dem Unterschied, dass die erklärenden Variablen nominal skaliert sind. Die unabhängigen Variablen werden in der Varianzanalyse als Faktoren bezeichnet; die einzelnen (Merkmals-) Ausprägungen als Faktorstufen.

In diesem Abschnitt wird die Analysetechnik für eine zweidimensionale kategoriale Verteilung beschrieben. Kategoriale Daten sind Daten, die in der Regel nur der Art nach unterschieden werden können. Handelt es sich um ein ordinales Messniveau, so sind diese auch der Größe nach sortiertbar, jedoch ohne metrischen Abstand.

Die Kleinst-Quadrate Regression hat den Nachteil, dass Werte, die eine große Abweichung zum Mittelwert aufweisen, einen überproportionalen Einfluss auf das Regressionsergebnis ausüben (siehe Abschnitt 16.3, Hebelwerte, siehe Abb. 31.1). Dies liegt an der quadratischen Schätzfunktion.

Lösung 3.1 Statistische Einheiten sind abzugrenzen, damit eindeutig beschrieben werden kann, welche statistischen Einheiten untersucht werden.