Statistik für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler I

Mathematische Ausdrücke wie x_m + x_m+1 + x_m+2 +…+x_n-1 + x_n schreibt man abgekürzt wie folgt:

In den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften wird versucht, Vorgänge des Wirtschafts- und Gesellschaftssystems zu beschreiben. Diese Vorgänge vollziehen sich im Rahmen einer Vielzahl von Bedingungen. Der Vorgang „Verbrauch eines Haushalts in einer Rechnungsperiode“ z.B. ist abhangig von der Wahl der Periode, dem Einkommen des Haushalts, seiner Vermögenssituation, der Anzahl der Haushaltsmitglieder, dem Beruf des Haushaltsvorstandes und von vielen weiteren Einfluflgrößen.

Haufig werden in konkreten Fragestellungen — von einem gegebenen Zufallsvorgang ausgehend — zusätzliche Bedingungen für die Durchführung des Zufallsvorgangs eingeführt. Bei- spielsweise sei eine Gesamtheit von Personen (Männer und Frauen) gegeben, von denen ein Teil farbenblind ist. Der Zufallsvorgang laute: „Auswahl einer Person aus dieser Gesamtheit“ und gesucht sei die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „eine farbenblinde Person wird ausgewählt“. Nun soil der Durchführung des Zufallsvorgangs eine weitere Be- dingung hinzugefügt werden. Es wird verlangt, daß die Auswahl nur aus den männlichen Personen getroffen wird, nicht mehr aus der urspriinglichen Gesamtheit von Männern und Frauen. Gefragt ist nun nach der Wahrscheinlichkeit für die Auswahl einer farbenblinden Person unter den Männern.

In vielen Fällen sind die Elemente des Stichprobenraumes n-tupel von Zahlen oder Symbolen; so ist z.B. S₁ = {(1,1),…,(6,6)} der Stichprobenraum beim zweifachen Wür- felwurf oder S₂ = {(w,w),(w,z),(z,w),(z,z)} der Stichprobenraum beim zweifachen Münzwurf. In diesem und den folgenden Kapiteln wird deutlich, daß man die Analysemöglichkeiten gegebener Zufallsvorgänge beträchtlich erweitern kann, wenn man den Elementen eines gegebenen Stichprobenraumes in einer fur die konkrete Problemstellung geeigneten Weise reelle Zahlen zuordnet und mit diesen Zahlen weiterarbeitet. Diese Zuordnung von reellen Zahlen wird als Zufallsvariable be- zeichnet, und als Folge der Definition einer Zufallsvariablen hat man die Möglichkeit, die Verteilungsfunktion und Erwartungswerte der Zufallsvariablen zu ermitteln, um nur einige der gewonnenen Analysemöglichkeiten zu nennen.

Durch Angabe der Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion Oder die Verteilungsfunktion wird eine Zufallsvariable vollständig beschrieben. Bei jeder Durchführung des Zufallsvor- gangs nimmt die Zufallsvariable eine ihrer Auspragungen an. Die Bedeutung, die jeder einzelnen Ausprägung im Hinblick auf ihr Auftreten als Realisation des Zufallsvorgangs zukommt, wird durch die Wahrscheinlichkeit bzw. die Wahrschein- lichkeitsdichte ausgedrückt. Für viele Fragestellungen ist diese ausführliche Beschreibung nicht geeignet. Man benötigt Informationen über Zufallsvariablen und ihre Verteilung von einem bestimmten Blickwinkel aus gesehen, die in kompakter Form, möglichst in Form einer einzigen Zahl, gegeben werden sollen. Beispielsweise stellt sich häufig die Frage nach dem durchschnittlichen Ergebnis eines Zufallsvorgangs oder der durchschnittlichen Abweichung des Ergebnisses von einem Durchschnittswert. Zur Beantwortung solcher Fragen kann man Maßzahlen für die einzelnen Zufallsvariablen berechnen. Die Berechnung einer solchen MaBzahl erfolgt immer unter Verwen- dung der Verteilung dieser Zufallsvariablen. Wenn man von einer MaBzahl einer Zufallsvariablen spricht, meint man damit also eine „Maßzahl einer Zufallsvariablen bezüglich ihrer Verteilung“, z.B. eine „Maßzahl einer binomialverteilten Zufallsvariablen“ (vgl. Kap. 7). In diesem Kapitel werden Maßzahlen besprochen, die generell als Erwartungswerte bezeichnet werden.

Die überlegungen dieses Abschnitts haben Bedeutung sowohl für frühere als auch für später folgende Ausführungen. Sie betreffen allgemein das Schätzen von Parametern von Zufallsvariablen. In sehr vielen praktischen Fragestellungen geht es darum, unbekannte MaBzahlen von Zufallsvariablen wie Erwartungswert oder Varianz zu ermitteln. Die „Ermittlung“ der Maßzahlen besteht dann darin, daß man mit Hilfe geeigneter Methoden aus empirischen Beobachtungen Schätzwerte gewinnt. Ein Schätzwert ist also eine Größe, die auf der Grundlage von Beobachtungs- ergebnissen berechnet wird und anstelle der unbekannten Ver- teilungsmaBzahl gesetzt wird. Schätzverfahren werden ausführlich in Kapitel 9 behandelt. Die Ausführungen dieses Abschnitts sind jedoch dafür bereits von Bedeutung. Einige Sätze aus dem Bereich der Gesetze der großen Zahlen können als allgemeine Grundlagen für die Schätzung von Maßzahlen der Verteilung einer untersuchten Zufallsvariablen (eines untersuchten Merk- mals) mit Hilfe ausgewählter Beobachtungen angesehen werden.

In diesem Kapitel werden einige für Anwendungen besonders wichtige Verteilungen behandelt. Insbesondere werden die Parameter Erwartungswert und Varianz dieser Verteilungen besprochen, ihre Beziehungen zu anderen Verteilungen untersucht und geprüft, ob eine Verteilung symmetrisch ist.