Stochastische Geometrie

Die mathematische Behandlung zufälliger geometrischer Strukturen beginnt im 18. Jahrhundert (Buffonsches Nadelproblem). Aus diesen frühen Ansätzen und vereinzelten Beiträgen im 19. Jahrhundert, etwa von Crofton, haben sich zwei eng verbundene mathematische Disziplinen entwickelt, die Integralgeometrie und die Geometrischen Wahrscheinlichkeiten. Ein kurzer Überblick über diese historische Entwicklung wird in der Einleitung zu Schneider & Weil [1992] gegeben. Sowohl die stochastische Interpretation integralgeometrischer Formeln als auch andere Ergebnisse über geometrische Wahrscheinlichkeiten zeichnen sich dadurch aus, daß eine feste Anzahl geometrischer Objekte mit fester Form betrachtet wird; lediglich die Lage (und eventuell die Orientierung) der Objekte ist zufällig. Meist werden Lage und Orientierung als gleichverteilt bezüglich invarianter Maße angenommen, wozu die Betrachtung auf Dreh- und Translationsbilder einer Menge A ⊂ ℝ ⁿ beschränkt bleiben muß, die eine (feste) Referenzmenge A₀ ⊂ ℝ ⁿ schneiden. Solche Modellannahmen erlauben häufig den direkten Einsatz von Integralformeln, bei denen über die Gruppe der Translationen oder über die Gruppe aller Bewegungen des ℝn integriert wird; Beispiele sind die kinematische Hauptformel der Integralgeometrie oder die Croftonsche Schnittformel. Die Anwendbarkeit solcher Resultate etwa in der Stereologie bleibt aufgrund des integralgeometrischen Rahmens begrenzt, so daß die Frage nach flexibleren Modellen für zufällige Mengen und zufällige Felder von Mengen in natürlicher Weise entsteht.

Eine zufällige Menge im euklidischen Raum ℝ ⁿ soll, entsprechend dem üblichen Vorgehen der Stochastik, als mengenwertige Zufallsvariable eingeführt werden, also als meßbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in die Potenzmenge P(ℝ ⁿ ) oder ein Teilsystem F ⊂ P(ℝ ⁿ ), versehen mit einer geeigneten σ-Algebra. Als zweckmäßig erweist sich dabei die Borelsche σ-Algebra bezüglich einer natürlichen Topologie auf F. Das wiederum bedingt, daß das Mengensystem F geeignet gewählt werden muß. Wir betrachten im folgenden den Fall, daß F das System der abgeschlossenen Mengen ist, wir behandeln also nur zufällige abgeschlossene Mengen. Für Anwendungen ist dieses Modell hinreichend allgemein. Eine Theorie zufälliger offener Mengen kann man naheliegenderweise völlig analog aufbauen.

Die bisher entwickelte Theorie der zufälligen Mengen hat nur teilweise von der speziellen Struktur des Raumes ℝ ⁿ Gebrauch gemacht. Viele der Definitionen und Aussagen lassen sich daher auf allgemeinere topologische Räume übertragen, soweit diese die wichtigsten topologischen Eigenschaften mit dem ℝ ⁿ gemeinsam haben. Diese Tatsache wollen wir später bei der Behandlung von Punktprozessen auf F′ ausnutzen. Ein solcher (einfacher) Punktprozeß läßt sich nämlich sowohl als zufälliges Maß wie auch als lokalendliche, zufällige Teilmenge in F′ erklären.

Der Begriff der zufälligen abgeschlossenen Menge in ℝ ⁿ ist recht allgemein und muß für Anwendungen häufig durch Übergang zu speziellen Mengenklassen modifiziert werden. So betrachtet man beispielsweise im stationären Fall zufällige S-Mengen, die als Vereinigung einer abzählbaren Kollektion zufälliger konvexer Körper entstehen, oder ähnliche abzählbare Vereinigungen etwa von Kurven, Geraden oder Ebenen. Bei der Vereinigungsmenge Z sind allerdings im allgemeinen die einzelnen Teile der Kollektion nicht mehr unterscheidbar. Dieses Phänomen kann schon bei zufälligen Kurvensystemen auftreten, wird aber besonders deutlich bei zufälligen Kollektionen X volldimensionaler Mengen, die sich teilweise überlappen. Hier ist die Vereinigungsmenge Z (unter geeigneten Voraussetzungen an die Kollektion X) eine ZAM in ℝ ⁿ , die Kollektion X selbst dagegen nicht. Größen, die die Kollektion X betreffen (etwa die mittlere Anzahl der Kurven pro Einheitsvolumen) lassen sich an der Vereinigungsmenge Z nicht ablesen, sie erfordern ein entsprechendes Modell für X. Ein solches soll in diesem Kapitel mit der Einführung von Punktprozessen bereitgestellt werden.

Nach den allgemeinen Grundlegungen in den bisherigen Kapiteln wenden wir uns nun geometrischen Prozessen und daraus abgeleiteten zufälligen Mengen zu. Unter geometrischen Prozessen verstehen wir dabei Punktprozesse abgeschlossener Mengen, die auf geometrisch ausgezeichneten Teilmengen von F′ konzentriert sind. Insbesondere werden Ebenenprozesse und Partikelprozesse behandelt. Die k-Ebenenprozesse sind Punktprozesse in F′, deren Intensitätsmaß auf dem Raum ε _k ⁿ der k-dimensionalen Ebenen (affinen Unterräume) des ℝ ⁿ konzentriert ist. Partikelprozesse sind Punktprozesse im Teilraum C′ der nichtleeren kompakten Mengen. Speziellere Prozesse entstehen, wenn wir nur Partikel aus R oder sogar nur aus K zulassen.

Eine Hauptaufgabe der Stereologie, eines wichtigen Anwendungsgebiets der Stochastischen Geometrie, besteht darin, für zufällige Mengen X bzw. Partikelprozesse X charakteristische Größen von X zu schätzen, wenn nur ein Ausschnitt X ⋂ W in einem „Fenster“ W oder ein niederdimensionaler Schnitt X ⋂ E mit einer k-Ebene E ∈ ε _k ⁿ beobachtet wird. Die bisher hergeleiteten Formeln erlauben dies nur teilweise bzw. in bestimmten Fällen. Beispiele dieser Art sind die Sätze 4.1.4, 4.1.7, 4.2.4, 4.2.6, 4.2.7 und 4.2.8. Um allgemeinere stereologische Formeln zu bekommen, zumindest für stationäre und isotrope zufällige Mengen und Partikelprozesse, müssen wir geeignete geometrische Funktionale betrachten. Besonders brauchbar sind hier die inneren Volumina, durch die Begriffe wie Volumen und Oberfläche verallgemeinert werden. Sie können für konvexe Körper durch die Steiner-Formel (7.1) und allgemeiner für endhche Vereinigungen konvexer Körper durch einen Fortsetzungsprozeß erklärt werden. Bei der Herleitung stereologischer Formeln werden wir uns der beiden Grundformeln der Integralgeometrie bedienen, der kinematischen Hauptformel und der Crofton-Formel. Beide werden im Anhang (Kapitel 7) kurz vorgestellt, mit Literaturangaben für Beweise. Geometrische Mittelwerte für translationsinvariante Funktionale φ haben wir bei stationären Partikelprozessen in einfacher Weise erklären können (φ-Dichten, siehe (4.19)). Für zufällige Mengen müssen wir eine geeignete Definition noch angeben.

Unter einem Mosaik verstehen wir ein System von konvexen Polytopen im ℝ ⁿ , die den Raum überdecken und paarweise keine inneren Punkte gemeinsam haben. Zufällige Mosaike werden in der Stochastischen Geometrie intensiv untersucht, weil sie für viele Anwendungen von Bedeutung sind. Man kann ein zufälliges Mosaik wahlweise als zufällige abgeschlossene Menge (die durch die Ränder der Zellen des Mosaiks gebildet wird) oder als speziellen Punktprozeß konvexer Polytope beschreiben. Die k-dimensionalen Seiten dieser Polytope erzeugen selbst wieder Punktprozesse k-dimensionaler Mengen, so daß zu einem zufälligen Mosaik in offensichtlicher Weise n + 1 Partikelprozesse gehören (Eckenprozeß, Kantenprozeß, Zellenprozeß). Diese besondere Struktur und die vielfältigen Beziehungen zwischen den Intensitäten und Quermaßdichten der verschiedenen Seitenprozesse machen zufällige Mosaike für die mathematische Behandlung besonders ergiebig. Dabei ist der ebene Fall am intensivsten untersucht worden, und auch für dreidimensionale zufällige Mosaike liegen umfassende Ergebnisse vor. Wir wollen in diesem Kapitel im bisherigen allgemeinen Rahmen bleiben und zufällige Mosaike im ℝ ⁿ behandeln, werden uns aber an einigen Stellen auf den zwei- bzw. dreidimensionalen Fall beschränken, wenn allgemeinere Resultate nicht vorliegen oder zu aufwendig wären.

In diesem Anhang stellen wir ohne Beweis die integralgeometrischen Hilfsmittel und Aussagen über konvexe Körper zusammen, die wir an verschiedenen Stellen benutzt haben. Beweise findet man, soweit nichts anderes gesagt ist, in Schneider [1993] und Schneider & Weil [1992]. Auch für Begriffsbildungen, die ohne Erläuterung benutzt werden, sei auf Schneider [1993] verwiesen.