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2022 | Book

Einleitung Read chapter Read first chapter

SU(n), Darstellungstheorie und deren Anwendung im Quarkmodell

Eine Analyse aus mathematischer und physikalischer Perspektive

Author: Johannes Schaeffer

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

Book Series : BestMasters

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Johannes Schaeffer liefert eine interdisziplinäre, gruppentheoretische Analyse des Quarkmodells. Hierbei wird im ersten Teil eine solide, mathematisch präzise Grundlage der Darstellungstheorie der Gruppe SU(n) geschaffen, welche im zweiten Teil auf die Phänomenologie der Hadronen angewendet wird. Der Autor bietet durch diese Gratwanderung zwischen mathematischer Betrachtung und physikalischer Anwendung Studierenden beider Fächer die Möglichkeit, sich gewinnbringend mit der Thematik auseinanderzusetzen.
Der AutorJohannes Schaeffer ist nach seinem Studium der Mathematik und Physik an der Johannes Gutenberg-Universität Mainz derzeit als Studienreferendar am Studienseminar für das Lehramt an Gymnasien in Mainz tätig.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Der griechische Philosoph Demokrit führte die Eigenschaften von Objekten, wie Farbe und Geschmack, auf deren Zusammensetzung aus Atomen zurück. Dies war zu der damaligen Zeit natürlich ein rein hypothetisches Konzept und niemand wusste, ob diese elementaren Bausteine existieren und falls ja, welche Eigenschaften sie haben. Im Laufe der Zeit widmeten sich viele Naturwissenschaftler der Suche nach Antworten auf eben diese Fragen.
Johannes Schaeffer

Lie-Gruppen und Darstellungstheorie

Frontmatter
Kapitel 2. Lie-Gruppen und Lie-Algebren
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir uns zunächst mit dem Konzept der Lie-Gruppe und ihrer zugehörigen Lie-Algebra vertraut machen. Der Fokus wird hierbei auf Matrixgruppen liegen, von welchen insbesondere die unitären Gruppen eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von Symmetrien subatomarer Teilchen spielen.
Johannes Schaeffer
Kapitel 3. Darstellungstheorie
Zusammenfassung
Lie-Gruppen sind oft die abstrakte Verkörperung von Symmetrien. Die Realisierung einer solchen Gruppe in Form eines bijektiven, linearen Operators auf einem \(\mathbb {K}\)-Vektorraum nennt man eine Darstellung. Wir werden uns hierbei in diesem Kapitel auf endlich-dimensionale Darstellungen beschränken.
Johannes Schaeffer
Kapitel 4. Die Symmetrische Gruppe
Zusammenfassung
In diesem Kapitel widmen wir uns der Darstellungstheorie der Symmetrischen Gruppe \(S_n\). Eine wichtige Anwendung dieser Darstellungstheorie ist die Konstruktion von irreduziblen Darstellungen von Matrixgruppen auf Tensorprodukträumen.
Johannes Schaeffer

SU(n) und Quarks

Frontmatter
Kapitel 5. Quarks
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir zunächst einen Blick auf die Entwicklung der Atom- und Teilchenphysik im 20. Jahrhundert werfen, welche schließlich zu der Idee des Quarkmodells führte. Im Anschluss betrachten wir einige grundlegende Eigenschaften des Quarkmodells und verschaffen uns einen kleinen Überblick über die fundamentale Theorie der starken Wechselwirkung, die Quantenchromodynamik. Zuletzt werden wir noch kurz erläutern, was wir unter Symmetrien im Quarkmodell verstehen und wieso die Gruppen SU(n) hier von Bedeutung sind.
Johannes Schaeffer
Kapitel 6. SU(2)
Zusammenfassung
In diesem Kapitel setzen wir uns genauer mit der Lie-Gruppe SU(2) auseinander. Wir werden diese zunächst als passende Gruppe für den Spin der Quarks kennenlernen. Im Anschluss werden wir sehen, wie wir somit auch Spinzustände von aus Quarks zusammengesetzten Systemen, also Hadronen, beschreiben können. Zuletzt betrachten wir noch kurz die Isospinsymmetrie als mathematisches Äquivalent zum Spin.
Johannes Schaeffer
Kapitel 7. SU(3)
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir uns damit auseinandersetzen, wie sich die Multiplettstruktur der Hadronen, die man in den 1960er Jahren kannte, mit Hilfe einer inneren \(\mathrm {SU}(3)\)-Symmetrie erklären lässt. Wir werden hierbei sehen, dass die Multipletts auf natürliche Weise zustande kommen, wenn sich die Hadronen aus den drei leichten Quarks, also dem Up-, Down-, und Strange-Quark und den zugehörigen Antiquarks zusammensetzen. Als Werkzeug verwenden wir die Darstellungstheorie der \(\mathrm {SU}(3)\) und zerlegen genau wie in Kapitel 6 Produktzustände in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Im Anschluss werden wir noch kurz die Gruppe \(\mathrm {SU}(3)\) als Symmetriegruppe für die Farbe der Quarks diskutieren.
Johannes Schaeffer
Kapitel 8. SU(6)
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir die zuvor diskutierte \(\mathrm {SU}(2)\)-Spin-Symmetrie und die \(\mathrm {SU}(3)\)-Flavour-Symmetrie in einer gemeinsamen \(\mathrm {SU}(6)\)-Symmetrie vereinen. Mit dieser werden wir schließlich die experimentell gefundenen Mesonen- und Baryonenmultipletts identifizieren. Wie bereits zuvor sind bei der Betrachtung der Baryonen die Symmetrieeigenschaften der \(\mathrm {SU}(6)\) Multipletts entscheidend.
Johannes Schaeffer
Kapitel 9. Quarkmodell
Zusammenfassung
In diesem Kapitel wollen wir die zuvor diskutierte SU(6)-Symmetrie im Quarkmodell anwenden. Mit dem zuvor bestimmten Flavour-Spin-Zustand des Protons werden wir die theoretische Ladung und das magnetische Moment des Protons bestimmen und mit experimentellen Werten vergleichen. Im Anschluss diskutieren wir mit dem nichtrelativistischen Quarkmodell einen einfachen Ansatz, mit welchem auch angeregte Baryonen beschrieben werden können. Diesen werden wir dann etwas verbessern, um die Massenunterschiede zwischen den Baryonen des Dekupletts und des Oktetts erklären zu können. Zuletzt verweisen wir als Ausblick auf relativistische Effekte und entsprechende Modelle, welche diese berücksichtigen.
Johannes Schaeffer
Kapitel 10. Fazit
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden die wichtigsten Erkenntnisse der vorherigen Kapitel nochmal aufgegriffen und zusammengefasst. Somit wird ein Überblick geliefert, welcher nochmal die wichtigsten Beziehungen der verschiedenen Ergebnisse untereinander hervorhebt. Diese Aufstellung mündet schließlich in einem kurzen Fazit, welches die gesamte Arbeit als Ganzes einordnet.
Johannes Schaeffer
Backmatter
Metadata
Title
SU(n), Darstellungstheorie und deren Anwendung im Quarkmodell
Author
Johannes Schaeffer
Copyright Year
2022
Electronic ISBN
978-3-658-36073-3
Print ISBN
978-3-658-36072-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-36073-3

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