Technische Mechanik

Tragwerke sind Körper mit Abmessungen in allen drei Raumrichtungen. Bei zahlreichen Bauteilen sind jedoch die Abmessungen der Querschnitte klein gegen die Länge. Sie können dann häufig näherungsweise als linienhafte Körper betrachtet werden. Ihre Gestalt wird durch die Angabe der Verbindungslinie der Schwerpunkte aller Querschnitte (Achse) und der Querschnitte beschrieben. Je nach Form der Achse und nach Art der Belastung unterscheidet man folgende Linientragwerke:

Der Begriff der „Stabilität“ wird im alltäglichen und im technischen Sprachgebrauch vielfältig verwendet. Man muß daher stets genau definieren, welches spezielle Stabilitätsproblem man behandeln will. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel ausschließlich mit der statischen Stabilität elastischer Tragwerke. Hierunter wollen wir die Untersuchung von Gleichgewichtslagen auf deren Stabilität verstehen (vgl. Bd. 1, Abschn. 8.5). Wir werden die Betrachtungen zunächst an einfachen Stab-Feder-Modellen durchführen. An ihnen kann man alle wesentlichen Phänomene erkennen, welche das Stabilitätsverhalten von Tragwerken beschreiben. In Band 2, Abschnitt 7.1 haben wir bereits gezeigt, daß beim Druckstab unter einer Last F eine Verzweigung des Gleichgewichts auftreten kann. Die zugehörige Last heißt kritische Last. Wir wollen sie mit F _krit bezeichnen. Für F < F _krit bleibt der Stab in seiner ursprünglichen Lage. Für F > F _krit wird das Problem mehrdeutig: neben der Ausgangslage existieren weitere Gleichgewichtslagen, die mit seitlichen Auslenkungen verbunden sind. Die Berechnung kritischer Lasten ist das Hauptanliegen der klassischen Stabilitätstheorie. Wir werden zeigen, daß bei bestimmten Strukturen auch Gleichgewichtslagen für F > F _krit ermittelt und auf ihre Stabilität hin untersucht werden müssen.

Bisher haben wir bei der Untersuchung des Verhaltens von festen Körpern immer angenommen, daß der Werkstoff elastisch ist. Dann besteht zum Beispiel bei einem Zugversuch (Bild 6/1 a) ein eindeutiger Zusammenhang zwischen der Spannung und der Dehnung: σ = σ (ε) (Bild 6/1 b). Dieser Zusammenhang ist zeitunabhängig, d. h., bei einer Belastung des Stabes stellt sich die zugehörige Dehnung sofort ein. Wenn man den Stab anschließend vollständig entlastet, so nimmt er seine ursprüngliche Länge wieder an: die Dehnung geht auf den Wert Null zurück. Dabei fallen die Belastungs- und die Entlastungskurve zusammen. Für Spannungen oberhalb der Proportionalitätsgrenze σ _P (vgl. Bd. 2, Abschn. 1.3) ist die Funktion σ = σ (ε) nichtlinear.

Die mathematische Formulierung mechanischer Probleme führt auf Gleichungen, die für konkrete Aufgabenstellungen gelöst werden müssen. Diese Gleichungen können je nach Fragestellung von ganz unterschiedlichem Typ sein. Sie schließen algebraische Beziehungen, Differentialgleichungen oder Variationsgleichungen ein. Beispiele dafür finden sich in den ersten drei Bänden der Lehrbuchreihe und in den vorangegangenen Kapiteln dieses Buches. In der Elastostatik können wir die Gleichgewichtsbedingungen (algebraische Gleichungen) oder die Gleichung der Biegelinie eines Balkens (Differentialgleichung) nennen. In der Kinetik wird die Bewegung des Massenpunktes durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben. Die Gleichungen für die Scheibe in Kapitel 2 oder für die Membran in Kapitel 3 stellen partielle Differentialgleichungen dar. Variationsgleichungen für den Stab und den Balken sind in Abschnitt 2.7.3 angegeben.