Skip to main content


Swipe to navigate through the articles of this issue

05-03-2019 | Foundations | Issue 10/2019 Open Access

Soft Computing 10/2019

The lattice of subspaces of a vector space over a finite field

Soft Computing > Issue 10/2019
Ivan Chajda, Helmut Länger
Important notes
Communicated by A. Di Nola.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.


For finite m and q we study the lattice \(\mathbf {L}(\mathbf {V})=(L(\mathbf {V}),+,\cap ,\{\vec {0}\},V)\) of subspaces of an m-dimensional vector space \(\mathbf {V}\) over a field \(\mathbf {K}\) of cardinality q. We present formulas for the number of d-dimensional subspaces of \(\mathbf {V}\), for the number of complements of a subspace and for the number of e-dimensional subspaces including a given d-dimensional subspace. It was shown in Eckmann and Zabey (Helv Phys Acta 42:420–424, 1969) that \(\mathbf {L}(\mathbf {V})\) possesses an orthocomplementation only in case \(m=2\) and \({{\,\mathrm{char}\,}}\mathbf {K}\ne 2\). Hence, only in this case \(\mathbf {L}(\mathbf {V})\) can be considered as an orthomodular lattice. On the contrary, we show that a complementation \('\) on \(\mathbf {L}(\mathbf {V})\) can be chosen in such a way that \((L(\mathbf {V}),+,\cap ,{}')\) is both weakly orthomodular and dually weakly orthomodular. Moreover, we show that \((L(\mathbf {V}),+,\cap ,{}^\perp ,\{\vec {0}\},V)\) is paraorthomodular in the sense of Giuntini et al. (Stud Log 104:1145–1177, 2016).

Our product recommendations

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"


Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

  • über 69.000 Bücher
  • über 500 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

  • Automobil + Motoren
  • Bauwesen + Immobilien
  • Business IT + Informatik
  • Elektrotechnik + Elektronik
  • Energie + Umwelt
  • Finance + Banking
  • Management + Führung
  • Marketing + Vertrieb
  • Maschinenbau + Werkstoffe
  • Versicherung + Risiko

Testen Sie jetzt 30 Tage kostenlos.

Basis-Abo der Gesellschaft für Informatik

Sie erhalten uneingeschränkten Vollzugriff auf die Inhalte der Fachgebiete Business IT + Informatik und Management + Führung und damit auf über 30.000 Fachbücher und ca. 130 Fachzeitschriften.

Premium-Abo der Gesellschaft für Informatik

Sie erhalten uneingeschränkten Vollzugriff auf alle acht Fachgebiete von Springer Professional und damit auf über 45.000 Fachbücher und ca. 300 Fachzeitschriften.

Show more products
About this article

Other articles of this Issue 10/2019

Soft Computing 10/2019 Go to the issue

Premium Partner

    Image Credits