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05-03-2019 | Foundations | Issue 10/2019 Open Access

Soft Computing 10/2019

The lattice of subspaces of a vector space over a finite field

Journal:
Soft Computing > Issue 10/2019
Authors:
Ivan Chajda, Helmut Länger
Important notes
Communicated by A. Di Nola.

Publisher's Note

Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Abstract

For finite m and q we study the lattice \(\mathbf {L}(\mathbf {V})=(L(\mathbf {V}),+,\cap ,\{\vec {0}\},V)\) of subspaces of an m-dimensional vector space \(\mathbf {V}\) over a field \(\mathbf {K}\) of cardinality q. We present formulas for the number of d-dimensional subspaces of \(\mathbf {V}\), for the number of complements of a subspace and for the number of e-dimensional subspaces including a given d-dimensional subspace. It was shown in Eckmann and Zabey (Helv Phys Acta 42:420–424, 1969) that \(\mathbf {L}(\mathbf {V})\) possesses an orthocomplementation only in case \(m=2\) and \({{\,\mathrm{char}\,}}\mathbf {K}\ne 2\). Hence, only in this case \(\mathbf {L}(\mathbf {V})\) can be considered as an orthomodular lattice. On the contrary, we show that a complementation \('\) on \(\mathbf {L}(\mathbf {V})\) can be chosen in such a way that \((L(\mathbf {V}),+,\cap ,{}')\) is both weakly orthomodular and dually weakly orthomodular. Moreover, we show that \((L(\mathbf {V}),+,\cap ,{}^\perp ,\{\vec {0}\},V)\) is paraorthomodular in the sense of Giuntini et al. (Stud Log 104:1145–1177, 2016).

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