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2019 | OriginalPaper | Chapter

3. Theoretische Voraussetzungen für die Wandlungen analoger in digitale Signale

Authors : Jörg Lange, Tatjana Lange

Published in: Mathematische Grundlagen der Digitalisierung

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Kap. 3 beinhaltet in kurzer und knapper Form theoretische Voraussetzungen für das Verständnis der nachfolgenden Kapitel, also für die Abtastung und Digitalisierung analoger Signale und für die Herleitung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT). Dazu werden zunächst die Fourier-Reihe und das Fourier-Integral wiederholt, dann werden die Standard-Beispiele für Signaltransformationen, wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation und eine hilfreiche Näherungsbeziehung gezeigt. Kurz wird ebenso die Beschreibung des Zusammenspiels zwischen Signalen und linearen Systemen umrissen. Dieses Kapitel ist als eine Art Kompendium angelegt, das eigentlich davon ausgeht, dass der Leser die Grundlagen der Fourier-Transformation bereits kennt und verstanden hat und er nur einer kurzen kompakten Auffrischung bedarf.

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Footnotes
1
Streng mathematisch müssen die periodischen Funktionen absolut integrierbar sein. Des Weiteren dürfen sie keine Unstetigkeiten 2. Art besitzen und die Anzahl der Unstetigkeiten 1. Art und der Extremwerte innerhalb einer Periode muss endlich sein.
 
2
Wir verwenden hier zur Bezeichnung der imaginären Einheit komplexer Zahlen die in der Elektrotechnik übliche Notation \( j = \sqrt { - 1} \) anstelle von \( i = \sqrt { - 1} \).
 
3
In der Literatur wird auch oft mit der Kreisfrequenz \( \omega = 2\pi \cdot f \) gearbeitet. „Positive“ Kreisfrequenzen \( \omega \ge 0 \) entsprechen einer Drehung des Drehzeigers gegen den Uhrzeigersinn, während „negative“ Kreisfrequenzen \( \omega < 0 \) mit einer Drehung im Uhrzeigersinn korrespondieren.
 
4
Für lineare Systeme gilt das Superpositionsgesetz: Wenn \( u_{21} \left( t \right) \) die Systemantwort (Ausgangssignal) auf ein Eingangssignal \( u_{11} \left( t \right) \) ist und \( u_{22} \left( t \right) \) die Systemantwort auf \( u_{12} \left( t \right) \), dann ist \( u_{23} \left( t \right) = K \cdot \left( {u_{21} \left( t \right) + u_{22} \left( t \right)} \right) \) die Systemantwort auf ein Eingangssignal \( u_{13} \left( t \right) = K \cdot \left( {u_{11} \left( t \right) + u_{12} \left( t \right)} \right) \).
 
5
Wenn das Systemverhalten zu jedem beliebigen Zeitpunkt identisch ist, spricht man von zeitinvarianten Systemen.
 
Metadata
Title
Theoretische Voraussetzungen für die Wandlungen analoger in digitale Signale
Authors
Jörg Lange
Tatjana Lange
Copyright Year
2019
Book
Mathematische Grundlagen der Digitalisierung

Print ISBN: 978-3-658-26685-1

Electronic ISBN: 978-3-658-26686-8

Copyright Year: 2019

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-26686-8_3