Übungsbuch zur Numerischen Mathematik

Frontmatter

§1. Rechnerarithmetik

Zusammenfassung

Es sei definiert: normalisierte Gleitkommazahl ±d₁.d₂d₃…d₁·10^±e1e2 wobei 0<d₁≤9(BASIC-Konvention) 0≤d_i≤9, 2≤i≤l und 0≤e_i≤9, i=1, 2.

Jürgen Herzberger

§2. Polynome und Interpolation

Zusammenfassung

Ein Polynom ist definiert durch den Funktionsausdruck p(x) = a _n xⁿ +a _n-1 x^n-1+…+a ₀ .

Jürgen Herzberger

§3. Numerische Differentiation und Richardson-Extrapolation

Zusammenfassung

Es gibt mehrere Konstruktionsmöglichkeiten für numerische Differentiationsformeln.

Jürgen Herzberger

§4. Numerische Integration

Zusammenfassung

Die Newton-Cotes-Formeln beruhen auf dem Approximationsprinzip. Man bestimmt dabei das Interpolationspolynom p zum Integranden über dem Integrationsintervall [a,b] und integriert dieses dann explizit. Dieses berechenbare Integral dient dann als Näherung für das zu bestimmende Integral. Diese Art von Formeln haben die allgemeine Gestalt

$$\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \approx \sum\limits_{i = 0}^n {\alpha _i f\left( {x_i } \right),a = x_0 < } x_1 \ldots < x_n = b}$$

wobei gelten muß, daß \(\sum\limits_{i = 0}^n {\alpha _i = b - a} \) ist, da die Formel für die Funktion f(x) =1 exakt sein muß.

Jürgen Herzberger

§5. BANACHscher Fixpunktsatz, sukzessive Substitution und Konvergenzordnung

Zusammenfassung

Der folgende Fixpunktsatz wird angewendet auf Iterationsvorschriften der Gestalt x^k+1=f(x ^k ), x⁽⁰⁾ gegeben.

Jürgen Herzberger

§6. Nichtlineare Gleichungen

Zusammenfassung

Zur Lösung einer nichtlinearen Gleichung mit einer Variablen x der Gestalt f(x) = 0 gibt es verschiedene Typen von Verfahren zur iterativen Approximation einer Lösung.

Jürgen Herzberger

§7. Matrixanalysis und Normen

Zusammenfassung

Es bezeichne A= (a_ij) eine reelle oder komplexe n x n—Matrix.

Jürgen Herzberger

§8. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Das bekannteste endliche Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen ist der Gaußsche Eliminationsalgorithmus.

Jürgen Herzberger

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