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About this book

Konstruktive Analysis wird in diesem Buch mit anschaulichen Graphiken und bestechenden Beispielen so vorgestellt, dass sie bereits mit elementaren Schulkenntnissen als Voraussetzung verstanden wird. Sie stellt eine höchst attraktive Alternative zur konventionellen, auf den willkürlich gesetzten Axiomen der Mengentheorie fußenden formalen Mathematik dar. Und sie führt zu spektakulären Einsichten über Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit, über gleichmäßige Konvergenz und über die Vertauschung von Limes und Integral, die der konventionellen Mathematik gänzlich verwehrt sind.

Table of Contents

Frontmatter

1. Einführung

Zusammenfassung
In dieser Schrift handelt es sich nicht darum, den „sicheren Fels“, auf den das Haus der Analysis gegründet ist, im Sinne des Formalismus mit einem hölzernen Schaugerüst zu umkleiden und nun dem Leser und am Ende sich selber weiszumachen: dies sei das eigentliche Fundament. Hier wird vielmehr die Meinung vertreten, dass jenes Haus zu einem wesentlichen Teil auf Sand gebaut ist.
1918 schrieb Hermann Weyl diese Worte am Beginn seines Buches Das Kontinuum, in dem er die von Georg Cantor und Richard Dedekind vorgeschlagene Grundlegung der Analysis als haltlos verwarf.
Rudolf Taschner

2. Reelle Größen

Zusammenfassung
Die Zahlen 1, 2, 3,... „hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.“ Kronecker hat völlig recht: Nichts lässt sich einfacher und elementarer denken als das Konzept der Zahlen.
Rudolf Taschner

3. Metrische Räume

Zusammenfassung
Bisher wurde nur von „Punkten“ gesprochen, die reelle Größen sind, also von Punkten auf der eindimensionalen Skala. Tatsächlich ist der Begriff des Punktes viel weiter gefasst: Punkte müssen nicht unbedingt auf einer eindimensionalen Geraden verortet sein. So befinden sich in einer Zeichnung Punkte auf der zweidimensionalen Zeichenebene. Und mit unserer sinnlichen Wahrnehmung verorten wir Punkte im dreidimensionalen Anschauungsraum. Doch wir wollen in diesem Kapitel sogar eine noch abstraktere Position einnehmen und uns nicht mit dem Begriff der Dimension belasten. Einzig und allein die Tatsache, dass wir von zwei Punkten deren „Abstand“ bestimmen können, ist für uns maßgebend. Dies allein wird genügen, um zu fundamentalen geometrischen Begriffen gelangen zu können.
Rudolf Taschner

4. Stetige Funktionen

Zusammenfassung
Ein Verfahren f, das bei einem mit u symbolisierten Input einen mit v bezeichneten Output liefert, nennen wir eine Zuordnung, die jedenfalls für den Input u definiert ist. Seit Leibniz wird die Tatsache, dass dem Input oder dem Eingangswert u durch das Verfahren f der Output oder der Ausgangswert v zugeordnet wird, mit f(u)=v symbolisiert.
Rudolf Taschner

5. Das Integral

Zusammenfassung
Im ganzen folgenden Kapitel bezeichnen I ein offenes Intervall des Kontinuums und X eine diskrete und im Intervall I dichte Menge reeller Größen. Ziel dieses Abschnittes ist, den Begriff des Integrals so zu fassen, wie ihn Bernhard Riemann und Thomas Jean Stieltjes geprägt haben.
Rudolf Taschner

Backmatter

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