2. Von Weingläsern und verschwommener Sicht: Linsen

Eine Katze (in Luft, \(n_{\text {L}}=1\)) blickt auf ein kugelförmiges (Kugelradius \(r=15\,\mathrm {cm}\)) Goldfischglas, das mit Wasser ( \(n_{\text {W}}=1{,}33\)) gefüllt ist. Im Glas schwimmt ein Fisch. Für die Katze sieht es so aus, als hätte der Fisch von ihr den Abstand \(d_{\text {scheinbar}}=10\,\mathrm {cm}\). Sie selbst befindet sich \(d_\mathrm{{K-G}}=5\,\mathrm {cm}\) vom Glas entfernt. Die Dicke der Glasscheibe kann vernachlässigt werden. Fertige eine Skizze an und zeichne alle relevanten Größen ein. Wie weit ist der Fisch tatsächlich von der Katze entfernt? Auf einem Salatblatt sitzt ein halbkugelförmiger Wassertropfen ( \(n_{\text {W}}=1{,}33\)). Dieser bricht das Licht der unendlich weit entfernten Sonne. Muss sich der Gärtner sorgen, dass das dadurch gebündelte Licht das Blatt verbrennt? Begründe deine Antwort. Berechne den Sehwinkel, unter dem du deinen Daumen bei ausgestrecktem Arm siehst. Du befindest dich nun \(d=200\,\mathrm {m}\) vor einem Gebäude, das dir unter gleichem Winkel erscheint. Wie hoch ist das Haus? Von Zeit zu Zeit lässt sich auf der Erde ein beeindruckendes Spektakel beobachten, eine Sonnenfinsternis. Hierbei kann der eigentlich viel kleinere Mond die Sonne exakt vollständig verdecken. Wieso kann der kleine Mond die große Sonne vollständig verdecken? Worauf kommt es an? Die Sonne besitzt einen Durchmesser von \(D_{\text {S}}=1.390.000\,\mathrm {km}\), der Mond etwa \(D_\text {M}=3500\,\mathrm {km}\). Der Abstand von der Erde zum Mond beträgt etwa \(d_{\text {EM}}=384.000\,\mathrm {km}\). Wie weit \(d_\text {ES}\) ist demzufolge die Sonne von der Erde entfernt? Konstruiere den Strahlengang eines virtuellen Bilds, das mithilfe einer Sammellinse erzeugt wird. Wo muss der Gegenstand stehen? Die Kleinwinkelnäherung aus Gl.  2.2 spielt in der Physik oft eine wichtige Rolle. Bewerte ihre Gültigkeit für Winkel zwischen \(\alpha =0^\circ \) und \(\alpha =20^\circ \) mithilfe einer Tabelle. Der scheinbare Abstand \(d_\text {scheinbar}\), unter dem die Katze den Fisch beobachtet, ist tatsächlich der Abstand von der Katze zum Bild des Fischs, das von der gekrümmten Fläche erzeugt wird. Wir können also die Bildweite b in unsere Skizze integrieren.

    Der tatsächliche Abstand des Fischs zur Katze, \(d_\mathrm{{F-K}}\), ergibt sich über den Abstand \(d_\mathrm{{K-G}}\) der Katze zur Grenzfläche und die Gegenstandsweite g, die den Abstand vom Fisch zur Grenzfläche beschreibt: Um das unbekannte g bestimmen zu können, nutzen wir die Formel für Lichtbrechung an gekrümmten Grenzflächen (Gl.  2.1): Achtung, hier ist etwas Wichtiges passiert, das leicht übersehen werden kann: Das r im Nenner hat ein negatives Vorzeichen bekommen, da die Grenzfläche, im Gegensatz zu Abb.  2.3, hier nicht vom Gegenstand weg, sondern zum Gegenstand hin gekrümmt ist. Aufgelöst nach g erhalten wir Hier noch unbekannt ist nur noch die Bildweite b. Diese finden wir mithilfe der Skizze. Da sich Gegenstand und Bild auf der gleichen Seite der Grenzfläche befinden, muss b einen negativen Wert besitzen. So erhalten wir Damit lässt sich das b aus obiger Gleichung eliminieren: und wir erhalten für den gesuchten Abstand \(d_\mathrm{{F-K}}\) und mit allen bekannten Werten eingesetzt Die Katze schätzt die Position des Fischs aufgrund der Grenzfläche also um \(10\%\) falsch ein. r, \(n_{\text {L}}\), \(n_{\text {W}}\), \(d_{\text {scheinbar}}\), \(d_\mathrm{{K-G}}\) g Grundsätzlich ist ein Wassertropfen dazu in der Lage, Licht zu bündeln. Aber nein, der Gärtner muss sich keine Sorgen machen. Wir nutzen Formel 2.9, um die bildseitige Brennweite \(f_\text {B}\) für den kugelförmigen Tropfen zu bestimmen. Sie ergibt sich zu wobei r den Radius des Tropfens beschreibt. Einsetzen der Brechungsindizes liefert uns Der Brennpunkt dieser Wasserhalbkugel liegt also weit hinter dem Blatt, das von der Tropfenoberfläche ja nur \(\frac{1}{2}r\) entfernt ist. Dadurch wird das Licht auf dem Blatt nicht scharf fokussiert und der Salat bleibt unversehrt. Ein Daumen der Höhe \(h_\text {D}=7\,\mathrm {cm}\) erscheint, bei ausgestrecktem Arm, im Abstand von \(d_\text {D}=80\,\mathrm {cm}\) unter einem Sehwinkel \(\varepsilon \) von Die Höhe h des Hauses ergibt sich dadurch zu Entscheidend ist nicht die Größe des Objekts, sondern der Sehwinkel, unter dem wir es betrachten. Da sich der im Verhältnis zur Sonne sehr kleine Mond sehr viel näher an der Erde befindet, erscheint er uns unter einem ähnlichen Sehwinkel wie die Sonne. Dadurch erscheinen beide Himmelskörper in etwa gleich groß. Unter der Annahme, dass beide Himmelskörper unter dem gleichen Sehwinkel \(\varepsilon \) erscheinen, erhalten wir Daraus folgt für den Abstand der Sonne zur Erde direkt Nutzt die Anleitung in Tab.  2.4, um den Strahlengang zu konstruieren. In Abb.  2.11 seht ihr das Ergebnis. Um an einer Sammellinse ein virtuelles Bild zu erzeugen, muss sich der Gegenstand innerhalb der Brennweite befinden ( \(g<f\)). Die Bewertung, ob die Kleinwinkelnäherung bei einem bestimmten \(\alpha \) gültig ist oder nicht, ist hier nur grob festgelegt und hängt letztlich auch von der jeweiligen Fragestellung ab.