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2017 | OriginalPaper | Chapter

4. Weiteres zur mathematischen Darstellung von Wellen

Authors : Joachim Heintze, Peter Bock

Published in: Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 4: Wellen und Optik

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In den vorangegangenen Kapiteln sind wir zwar mit der mathematischen Beschreibung von Wellenerscheinungen schon ziemlich weit gediehen; es lohnt sich aber, die mathematische Darstellung von Wellen noch etwas weiter zu treiben. Das wird sich bei der Behandlung optischer Probleme bewähren; auch wird sich zeigen, dass die hier eingeführten Begriffe und Methoden in der Quantenmechanik unentbehrlich sind. Wir führen den Wellenvektor \({}\vec{k}\) und die Darstellung von Wellenfunktionen mit komplexen Zahlen ein. Als Beispiel behandeln wir das Verhalten einer linearen Kette von Massenpunkten, die durch Federn miteinander verbunden sind. Dann diskutieren wir die mathematische Beschreibung von Wellenzügen endlicher Länge und von sogenannten Wellenpaketen. Das führt auf eine wichtige Beziehung zwischen zeitlicher Dauer und Bandbreite des Wellenzugs, auf die klassische Unschärferelation. Am Schluss des Kapitels wird ausgehend von dem in Abschn. 1.3 eingeführten Fourier-Integral die Fourier-Transformation behandelt, die besonders in der Optik eine große Rolle spielt.

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Appendix
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Footnotes
1
Bei der Berechnung ergibt sich noch ein zweiter Term mit \(\omega+\omega_{0}\) statt \(\omega-\omega_{0}\). Da jedoch die Funktion \(\sin x/x\) für große Werte von xpraktisch Null ist, kann dieser Term gewöhnlich vernachlässigt werden.
 
2
Zur Berechnung des Integrals (4.28) setzen wir \(\cos\omega t=\tfrac{1}{2}({\,{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}\omega t}+{\,{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{i}}\omega t})\) und erhalten mit (4.33)
$$\begin{aligned}\displaystyle f(t)=\frac{1}{2\pi}\left[\right.&\displaystyle\int_{0}^{\infty}{\,{\mathrm{e}}}^{-\left[(\omega-\omega_{0})^{2}-{\mathrm{i}}2\sigma_{\omega}^{2}\omega t\right]/2\sigma_{\omega}^{2}}\,{{\mathrm{d}}}\omega\\ \displaystyle&\displaystyle\left.+\int_{0}^{\infty}{\,{\mathrm{e}}}^{-\left[(\omega-\omega_{0})^{2}+{\mathrm{i}}2\sigma_{\omega}^{2}\omega t\right]/2\sigma_{\omega}^{2}}\,{{\mathrm{d}}}\omega\right].\end{aligned}$$
Den Exponenten im ersten Integral schreiben wir \(-(\omega^{2}-2(\omega_{0}+{\mathrm{i}}\sigma_{\omega}^{2}t)\omega+\omega_{0}^{2})/{2\sigma_{\omega}^{2}}\). Wir addieren und subtrahieren im Zähler \((\omega_{0}+{\mathrm{i}}\sigma_{\omega}^{2}t)^{2}\) und erhalten
$$-\frac{(\omega-\omega_{0}-{\mathrm{i}}\sigma_{\omega}^{2}t)^{2}+\omega_{0}^{2}-\omega_{0}^{2}-2{\mathrm{i}}\omega_{0}\sigma_{\omega}^{2}t+\sigma_{\omega}^{4}t^{2}}{2\sigma_{\omega}^{2}}\;.$$
Mit \((\omega-\omega_{0}-{\mathrm{i}}\sigma_{\omega}^{2}t)/\sqrt{2}\sigma_{\omega}=u\) und \({{\mathrm{d}}}\omega=\sqrt{2}\sigma_{\omega}\,{{\mathrm{d}}}u\) ergibt dann das erste Integral
$$\int_{0}^{\infty}{\,{\mathrm{e}}}^{-(\ldots)}\,{{\mathrm{d}}}\omega={\,{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}\omega_{0}t}{\,{\mathrm{e}}}^{-\frac{\sigma_{\omega}^{2}t^{2}}{2}}\int_{0}^{\infty}{\,{\mathrm{e}}}^{-u^{2}}\,{{\mathrm{d}}}u\;.$$
In einer Integraltafel findet man \(\int_{0}^{\infty}{\,{\mathrm{e}}}^{-u^{2}}\,{{\mathrm{d}}}u=\sqrt{\pi}/2\). Das zweite Integral führt auf das gleiche Ergebnis, jedoch mit dem Faktor \(e^{-{\mathrm{i}}\omega_{0}t}\). Wenn man \(\sigma_{\omega}=1/\sigma_{t}\) setzt, erhält man (4.34).
 
3
Man findet in der Literatur verschiedene Schreibweisen für (4.50) und (4.52). Man kann z. B. den Faktor \(1/2\pi\) in die Definition von \(F(\omega)\) aufnehmen: \(F^{\prime}(\omega)=F(\omega)/2\pi\). Dann verschwindet er in (4.52), taucht aber in (4.50) wieder auf. Man kann ihn auch symmetrisch auf die beiden Gleichungen verteilen: Dann muss man zweimal \(\sqrt{2\pi}\) statt einmal \(2\pi\) schreiben. Auch die Vorzeichen im Exponenten sind Definitionssache: Schreibt man in (4.49) Minus statt Plus, werden sie in (4.50) und (4.52) vertauscht. Auf jeden Fall sind die Vorzeichen der Exponenten in diesen beiden Gleichungen verschieden.
 
Metadata
Title
Weiteres zur mathematischen Darstellung von Wellen
Authors
Joachim Heintze
Peter Bock
Copyright Year
2017
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-54492-1_4