Werner Blum und seine Beiträge zum Modellieren im Mathematikunterricht

Frontmatter

1. Werner Blum und sein Beitrag zum Lehren und Lernen mathematischen Modellierens

Zusammenfassung

Der Beitrag intendiert eine Würdigung des Beitrags von Werner Blum zum Lehren und Lernen des mathematischen Modellierens als einem der seit Beginn der wissenschaftlichen Laufbahn zentralen Arbeitsgebiete von ihm. So sind die Anfangsarbeiten von ihm durch eine stoffdidaktische Einbettung charakterisiert, enthalten jedoch bereits die zentralen Theorieelemente auch der späteren Arbeiten. Hochbedeutsam für des Werk von Werner Blum ist der Einfluss der internationalen Diskussion – ICTMA und ICMI –, insbesondere die 14^th ICMI Study zu Modelling and Applications in Mathematics hat die nachfolgenden Arbeiten von Werner Blum theoretisch und empirisch ausgeschärft. Auch die PISA-Studie und die Bildungsstandards haben die neueren Arbeiten von ihm, die inzwischen stark empirisch geprägt sind, entscheidend beeinflusst. Auf einige dieser Projekte wird abschließend eingegangen.

Gabriele Kaiser

2. Multiple Lösungsmöglichkeiten und ihre Nutzung beim mathematischen Modellieren

Zusammenfassung

Beim Bearbeiten von realitätsbezogenen Aufgaben ist es möglich, mehrere Lösungen zu einer Aufgabe zu erstellen, indem man Annahmen variiert und/ oder verschiedene mathematische Lösungswege wählt. Um dies zu veranschaulichen, wurden Lösungsprodukte von Lernenden zu Aufgaben, die jeweils eine der genannten Möglichkeiten nahelegen, qualitativ-empirisch analysiert werden. Die Befunde zeigen, dass sowohl Schülerinnen und Schüler als auch Studierende Schwierigkeiten haben, realitätsbezogene Aufgaben zu lösen. Der Aufforderung, eine zweite Lösung zu erstellen, kommen Studierende nach und variieren ihre Lösungen entsprechend stoffdidaktischer Vorüberlegungen, wobei sowohl positive wie auch fehlerbehaftete Arbeitsweisen gefestigt werden. Eine weitere Erkenntnis ist, dass die Wahl des mathematischen Lösungsweges einen Einfluss auf den Lösungserfolg einer realitätsbezogenen Aufgabe hat.

Kay Achmetli, Andre Krug, Stanislaw Schukajlow-Wasjutinski

3. On Hands-On Material and Real-World Context

Abstract

Abstract. Modelling and applications play a key role in mathematics education in order to develop quantitative thinking. Technology offers today great opportunities to deal with that development but a question arises: may technology substitute completely the classical role hands-on materials? We think the answer is no. We will review the interest of old and new hands-on materials, use of everyday life resources and contexts in today’s learning processes.

Claudi Alsina

4. Lehrerlösungsprozesse beim mathematischen Modellieren

Zusammenfassung

Die Auseinandersetzung mit kompetenzorientierten Aufgaben stellt ein zentrales Element des Lehrens und Lernens im modernen Mathematikunterricht dar. Insbesondere im Rahmen von internationalen Vergleichsstudien und nationalen Abschlussarbeiten sind derartige Aufgaben auch in Testsituationen von Schülerinnen und Schülern zu bearbeiten. Wie aber bearbeiten Lehrkräfte kompetenzorientierte Aufgaben in Testsituationen? Im Rahmen des Forschungsprojekts Co²CA haben 67 Mathematiklehrkräfte eine für Schülerinnen und Schüler der Mittelstufe konzipierte Modellierungsaufgabe unter Testsituationen bearbeitet. Eine Diskussion der Lösungsprozesse zeigt: (1) Lehrkräfte greifen bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben in Testsituationen oftmals auf mathematisch einfache Modelle zurück. (2) Bei der Interpretation des mathematischen Ergebnisses wird häufig allein ein geringer Alltagsbezug hergestellt.

Michael Besser, Maike Hagena, Dominik Leiss

5. Zur Rolle kognitiver Aspekte in der Modellierungsdiskussion

Zusammenfassung

Die Wahrnehmung und Berücksichtigung der Bedeutung kognitiver Aspekte in der nationalen und internationalen Modellierungsdiskussion begann verstärkt vor etwa 10 Jahren. Dies hat sich mittlerweile zu einem unentbehrlichen Bereich für die Forschung und Praxis etabliert. In diesem Beitrag wird zunächst der Terminus „kognitives Modellieren“ reflektiert und geklärt. Im Sinne eines Rückblicks erfolgt dann die Darlegung zentraler Entwicklungsschritte der Rolle von kognitiven Aspekten in der Modellierungsdiskussion. Daran anknüpfend werden exemplarisch Studien vorgestellt, die sich in den Bereich des kognitiven Modellierens einordnen. Die Relevanz von kognitiven Aspekten in der Lehreraus- und -fortbildung zum Modellieren soll schließlich beleuchtet werden. Das Kapitel endet mit einer kurzen Diskussion und einem Ausblick.

Rita Borromeo Ferri

6. Modellieren in der COACTIV-Videostudie

Zusammenfassung

In der COACTIV-Videostudie wurden zur Erhebung fachdidaktischer Kompetenzen kurze Unterrichtsvideos eingesetzt, die an didaktisch kritischen Stellen endeten. Die untersuchten Lehrkräfte (N=284 aus verschiedenen Sekundarschulformen) hatten dabei jeweils geeignete Unterrichtsfortsetzungen anzugeben. Mit einem der drei eingesetzten Videos, in dem das arithmetische Mittel, der Median und der Modalwert behandelt wurden, konnte unter anderem erfasst werden, inwiefern die Lehrkräfte das in der dargestellten Unterrichtssituation vorhandene „Modellierungspotential“ erkannten und in ihren Unterrichtsfortführungen ausschöpften. Im vorliegenden Beitrag wird das COACTIV-Videoparadigma dargestellt, wobei ein besonderer Fokus auf dem Umgang deutscher Mathematiklehrkräfte mit dem Thema Modellieren im genannten Video liegt.

Georg Bruckmaier, Stefan Krauss, Michael Neubrand

7. Bildungsstandards und Modellieren: Wo stehen wir?

Zusammenfassung

Nach einem Überblick über Entstehung, Konzeption und Ziele der Bildungsstandards wird mit Bezug zu empirischen Befunden dargelegt, was im Fach Mathematik seit der Verabschiedung der Bildungsstandards im Jahr 2003 hinsichtlich ihrer Implementation geschehen ist. Hierzu werden Befunde aus dem Ländervergleich 2012 im Überblick berichtet und die Konzeption der Lernstandserhebungen (Vergleichsarbeiten) sowie der Umgang mit ihnen sind Gegenstand. Mit einem Fokus auf die Kompetenz Modellieren werden im Weiteren Ergebnisse von Implementationsstudien sowie von Analysen zu Unterrichts-, Prüfungs- und Lernstandaufgaben dargelegt und diskutiert. Abschließend werden von diesen Befunden ausgehend potentielle zukünftige Handlungsfelder aufgezeigt.

Christina Drüke-Noe

8. Zur Authentizität realitätsorientierter Aufgaben im Mathematikunterricht

Zusammenfassung

Realitätsorientierung ist eine berechtigte Forderung für den Mathematikunterricht. Wird diese Forderung überzogen, so kann der Wert der Mathematik für die Beschreibung oder Erklärung der Realität verschleiern werden. Die Passung von realitätsbezogenen Aufgaben im Mathematikunterricht mit Situationen des realen Lebens wird in diesem Beitrag auf der Basis des Begriffs der Authentizität diskutiert. Dazu wird der Begriff zunächst an Beispielen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik präzisiert. Dazu findet anschließend einer Vertiefung der Frage, wie Authentizität bei realitätsbezogenen Aufgaben erreicht werden kann anhand von stochastischen Situationen statt. Kernüberlegung ist dabei das Wechselspiel von objektiver Authentizität im Sinne gesellschaftlicher Relevanz und subjektiver Authentizität im Sinne individueller Relevanz.

Andreas Eichler

9. Strategieverwendung durch Grundschulkinder bei Modellierungsaufgaben

Zusammenfassung

Der Beitrag nimmt einen Transfer von Forschungsarbeiten aus dem Feld des Modellierens in der Sekundarstufe auf die Grundschule vor und berichtet über erste Fallstudien und Unterrichtsversuche, die analysieren, wie Primarschülerinnen und -schüler mit komplexen Modellierungsaufgaben umgehen. Dabei steht im Fokus des Interesses, mit welchen Schwierigkeiten sie dabei konfrontiert sind und mit welchen kognitiven oder metakognitiven Strategien sie diesen begegnen. Damit knüpfen wir an eine lange Reihe „Blumscher Forschung” an, die im Projekt DISUM II Elemente wie den Lösungsplan in Schülerhand als strategisches Instrument und intensive Reflexionsphasen als Bestandteil eines methoden-integrativen Unterrichtsdesigns systematisch in neunten Klassen untersucht hat.

Katja Eilerts, Jana Kolter

10. „Wofür braucht man das eigentlich?“ – Reflexionen zum Anwenden von Mathematik

Zusammenfassung

Beeinflusst durch die Veröffentlichungen und das Wirken von Werner Blum, werden seit über 20 Jahren an der TU Braunschweig Veranstaltungen zum Modellbilden in der Lehrerinnenund Lehrerausbildung durchgeführt. Der „rote Faden“ dieser Seminare ist dabei der Beantwortung der Frage „Wofür braucht man das eigentlich?“ aus Sicht der Lernenden, der Lehrenden und der universitären Ausbildung gewidmet. Dieser Artikel resümiert, auch in mathematikdidaktisch- historischen Rückblicken, diese Fragestellungen anhand zahlreicher Modellbildungsbeispiele und theoretischer Reflexionen und versucht in allen drei Perspektiven aufzuzeigen, dass Anwendungen der Mathematik wichtig sind und sich über Aspekte der Modellbildung gut in einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht integrieren lassen, ohne dabei andere wichtige Zielsetzungen des Mathematikunterricht zu vernachlässigen.

Frank Förster

11. ‘Noticing’ in the Practice of Modelling as Real World Problem Solving

Abstract

The discipline of ‘noticing’ has received recent attention as an essential ability of a perceptive and effective mathematics teacher. While this interest has been overwhelmingly directed towards its significance in ‘within classroom’ contexts, with conventional curricular topics, its relevance to the learning and teaching of mathematical modelling deserves elaboration. This includes the initial identification of problem rich situations (a frequently neglected element in teaching), and the maximising of educational opportunities that they present, as well as mentor activity in learning settings. This chapter looks at ways that ‘noticing’ is involved in these three facets of modelling education, and identifies characteristics that have the potential to increase effectiveness in designing tasks, and supporting the development of modelling expertise with novice learners. It is directed to the challenge of preparing future citizens with skills to apply mathematics to address problems in everyday life, society, and the workplace.

Peter Galbraith

12. Quantitative Curiosity

Abstract

In this short piece we introduce the concept of quantitative curiosity. While no explicit definition is provided, we give several examples to help clarify the idea. And we argue the need for a research program to nurture what we believe is an important skill that can enhance the daily lives of our students’ years after their schooling has ended.

Sol Garfunkel

13. Eine Fallstudie zu Modellierungsprozessen

Zusammenfassung

Der Beitrag stellt die Ergebnisse einer empirischen Studie zum Modellieren und Problemlösen in der Sekundarstufe I vor. Dazu wurden Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung einer Modellierungsaufgabe beobachtet und videografiert. Diese Videos wurden im Hinblick auf die Planungsphasen der Schülerinnen und Schüler ausgewertet. Hier werden zentrale Bausteine von Planungsphasen im Kontext des Modellierungsprozesses und charakteristische Typen von Planerinnen und Planern bei der Bearbeitung von Modellierungsaufgaben beschrieben. Mit Hilfe dieser Beobachtungen können einerseits einige Schritte aus bekannten Modellierungskreisläufen bestätigt werden und andererseits für die betrachteten Schülerinnen und Schüler unterschiedlich akzentuierte Kreisläufe beschrieben werden.

Gilbert Greefrath

14. Der Größenkalkül als ein Rechnen mit Größenwerten

Zusammenfassung

Im Beitrag werden die geschichtliche Entwicklung des Größenkalküls, seine Grundlegung und Ausbau und seine Rezeption im Unterricht diskutiert. Dieser Größenkalkül hat sich in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts in der Praxis des Ingenieurs, aber auch im Physik- und Mathematikunterricht der Schulen und Universitäten durchgesetzt. Eine mathematische Grundlegung erfolgte in den 1960er Jahren. Im Mathematikunterricht kann eine so strukturell orientierte Grundlegung nicht sinnvoll unterrichtet werden. Es sind also die didaktische Einordnung und die Konsequenzen für das Curriculum zu diskutieren. Das naive Rechnen im Größenkalkül sollte in enger Verzahnung mit dem Aufbau des Zahlensystems und seiner Verknüpfungen aufgebaut werden. Es erhält für den Lernenden Bedeutung und Sinnhaftigkeit durch die Verbindung mit Grundvorstellungen.

Heinz Griesel

15. Mathematik im Alltag

Zusammenfassung

Ein großes Hindernis bei dem Bestreben, den Mathematikunterricht realitätsnäher zu gestalten, ist das von Mogens Niss beschriebene Relevance Paradoxon: Die Mathematik bestimmt immer mehr unser Leben, was aber immer weniger wahrgenommen wird. Zur Überwindung dieses Paradoxons macht dieser Beitrag verschiedene Vorschläge. So sollten Schülerinnen und Schüler, wo immer möglich, bewusst die unterschiedliche Sicht der Logik des Alltags und der Mathematik erleben. Ein anderer Ansatz ist das bewusste Lesen irgendwelcher Aussagen in Zeitschriften und Büchern und ihre Analyse aus mathematischer Sicht. Den Beispielen ist gemeinsam ist, dass sie möglichst einfach und möglichst nahe der Lebenswelt von Schülerinnen und Schülern sind. Die Lernenden sollen ihre Welt auch durch eine mathematische Brille sehen lernen und mit Hilfe dieser Brille erkennen, wo überall Mathematik zu entdecken ist.

Hans-Wolfgang Henn

16. Gruppen als Modelle – Horizontale und vertikale Mathematisierungsprozesse

Zusammenfassung

Die algebraische Struktur der Gruppe ist ein zentrales Konzept der modernen Mathematik und begegnet uns in der Regel in einer axiomatischen Charakterisierung. Aus einer Modellierungsperspektive betrachtet sind Gruppen aber auch Modelle, die eine Vielzahl von (Real-) Situationen beschreiben. Die Fähigkeit, flexibel zwischen Situation und (Gruppen)Modell zu wechseln, also zu mathematisieren und zu realisieren, ist durch algebraische Grundvorstellungen gekennzeichnet. Der Aufbau eines Gruppenbegriffes beim Lernenden kann – einem Konzept von Freudenthal folgend – durch Prozesse der horizontalen Mathematisierung (Modellierung) und vertikalen Mathematisierung (Strukturbildung) aufgebaut werden.

Timo Leuders

17. Das Projekt mascil: Realitätsbezüge aus der Arbeitswelt

Zusammenfassung

Der Aufsatz stellt das internationale Projekt mascil vor, dessen Ziel es ist, auf breiter Ebene Fortbildungen zum forschenden Lernen anzubieten und deren Effekte wissenschaftlich zu evaluieren. Ein besonderer Fokus liegt darauf, in den Fortbildungen Realitätsbezüge zur Arbeitswelt herzustellen, um Lehrkräfte zu befähigen, authentische Anwendungen der Mathematik und der Naturwissenschaften aus beruflichen Kontexten in den Unterricht einzubeziehen und dadurch den Lernenden die Sinnhaftigkeit dieser Fächer zu verdeutlichen. Der Aufsatz stellt zunächst das Projekt vor und geht dann auf seinen theoretischen Hintergrund zum Modellieren, zu forschendem Lernen und Lehrerprofessionalisierung ein. Anschließend wird das internationale Fortbildungskonzept von mascil dargestellt. Lehrende lernen anhand von exemplarischen authentischen Fragestellungen aus der Arbeitswelt sowie durch Kooperationen verschiedenster Art, wie sie Bezüge zur Arbeitswelt integrieren können. Zum Abschluss wird anhand von zwei Beispielen aufgezeigt, wie dieses internationale Konzept in Deutschland implementiert wurde. In einer Fortbildung kooperieren Lehrende aus allgemeinbildenden Schulen mit solchen aus beruflichen Schulen, eine weitere Fortbildung wird in einem Betrieb durchgeführt.

Katja Maaß, Karen Reitz-Koncebovski, Anika Weihberger, Patrick Bronner

18. Modeling for Introducing Students to New Tools

Abstract

Traditional approaches to mathematical modeling involve starting with a real world situation and seeing what mathematics it leads to or starting with a kind of mathematical tool (e.g. Markov chain) and examining where this tool finds use. Here a middle ground is suggested. The value of looking at modeling as a way of promoting a variety of themes (optimization, fairness, etc.) rather than techniques (using equations, using statistics, etc.) is explored. Dedicated to Werner Blum in honor of his 70th birthday, with thanks for all he has done to promote mathematical modeling.

Joseph Malkevitch

19. Blums Arbeiten zur Bildungsforschung aus erziehungswissenschaftlicher Sicht

Zusammenfassung

Es freut mich, dass ich als Weggefährte - wir haben mehr als zehn Jahre in der Kasseler Forschergruppe für Bildungsforschung zusammengearbeitet - mich hier zur wissenschaftlichen Arbeit von Werner Blum äußern darf. Als Erziehungswissenschaftler drängt es mich, dies in Würdigung dessen zu tun, was Blum aus erziehungswissenschaftlicher und allgemeindidaktischer Sicht geleistet hat. Blum war an fast allen großen Reformvorhaben der Nach-PISA-Ära aktiv, teilweise federführend, beteiligt. Werner Blums Thema ist zwar primär die Fachdidaktik Mathematik. Aber alle seine Arbeiten haben auch eine allgemeine bildungswissenschaftliche Dimension. Er hat durch sie die Bildungslandschaft in Deutschland konstruktiv mitgeprägt.

Rudolf Messner

20. Modelling as a Mathematical Competency: a Paradox?

Abstract

This paper considers the seemingly paradoxical problem that whilst the mathematical modelling competency is one of eight competencies in the Danish KOM project this competency involves all the other competencies, which suggests that the modelling competency is at the same time subsumed under the other competencies and an overarching competency for all of them. This paper offers a conceptual and substantive analysis leading to the conclusion that the answer to the question “Is the relationship between mathematical competencies and the modelling competency a paradoxical one?” is in fact “No!”

Mogens Niss

21. Where Does Mathematical Modeling Begin? A Personal Remark

Abstract

In the course of her recent doctoral dissertation at Teachers College, Columbia, Germain- Williams (2014) had the occasion to compare several published versions of the mathematical modeling cycle. Most of them begin the sequence which makes up the modeling cycle with a specific problem or question for which a mathematical model is to be found. Then the problem/ situation is to be idealized and the idealized form used to develop mathematical insights and results.

Henry Pollak

22. MAKOS – Ein Projekt zur Umsetzung der Abiturstandards Mathematik in Hessen

Zusammenfassung

Ziel des Projektes MAKOS ist die Entwicklung und Erprobung von Handreichungen mit differenzierenden und technologiegestützten Elementen zur Umsetzung des neuen Kerncurriculums Mathematik für die gymnasiale Oberstufe in Hessen. MAKOS baut auf Forschungsergebnissen und Konzepten zu „gutem Unterricht“ ganz im Sinne von Werner Blum auf, insbesondere auch auf Konzepten erfolgreicher Modellprojekte im Bereich Binnendifferenzierung (MABIKOM) und Technologieeinsatz (CAliMERO). Diese Vorerfahrungen, der theoretische Hintergrund und die Konzeption des Projekts werden im Beitrag vorgestellt. Exemplarisch werden Elemente des zugrundeliegenden Unterrichtkonzepts zur offenen Differenzierung in der Oberstufe veranschaulicht.

Ulrike Roder, Regina Bruder

23. Werner Blum’s contribution to PISA mathematics

Abstract

Werner Blum served as a member of the PISA Mathematics Expert Group from late 2000 until after the completion of the PISA 2012 survey. He was also a member of the Questionnaire Expert Group for the duration of the PISA 2012 survey preparation period. He provided an important theoretical perspective to the thinking and work of the MEG, much of which was based in his expertise in the teaching of mathematical modelling, and very concrete and practical guidance to the complex and wide-ranging work of the group. This article documents and celebrates Werner Blum’s contribution, from the perspective of MEG colleagues and collaborators.

Ross Turner, Kaye Stacey

24. Publikationen von Werner Blum

Gabriele Kaiser, Hans-Wolfgang Henn