3. Zinsen, Strahlung und Kaninchen – Modellieren mit linearen Differenzengleichungen

Zur Finanzierung einer Immobilie wird ein Immobilienkredit der Höhe \(K_0\) mit einer bestimmten Laufzeit L und einem festen jährlichen Zinssatz p aufgenommen. In der Regel wird ein fester Tilgungssatz t verabredet. Die Abzahlung des Kredits verläuft dann folgendermaßen: Der Kreditnehmer zahlt jeden Monat \((p+t)/12\) des aufgenommenen Kredits \(K_0\) an die Bank zurück. Davon streicht die Bank den Anteil p/12 der in diesem Monat noch vorhandenen Restschuld als Zinsen ein, der Rest wird zur Tilgung der Schuld verwendet. Es sei \(a_n\) die Restschuld nach n Monaten. Stellen Sie eine Differenzengleichung für \(a_n\) auf und geben Sie eine explizite Lösungsformel an. Welche Restschuld ist bei gegebenen Werten von \(K_0\), p und t nach zehn Jahren noch übrig? Nach wie vielen Monaten ist die Schuld bei gegebenem p und t vollständig abgezahlt? Wie hoch muss die Tilgungsrate t bei gegebenem Zinssatz p gewählt werden, damit der Kredit in zehn Jahren zurückbezahlt ist? Zeichnen Sie Cobwebs für die lineare DZG \(a_{n+1}=ra_n+b\) für die Fälle \(r=-1\), \(r=0\) und \(r=1\). Die Formel soll auf drei Weisen hergeleitet werden.

Gehen Sie von der Teleskopsumme aus und nutzen Sie die bekannten Formeln Nutzen Sie das lineare Lösungsschema. Lesen Sie die Formel jeweils aus den beiden geometrischen Konfigurationen in Abb.  3.2 heraus. In dieser Aufgabe soll auch für die lineare Differenzengleichung mit variablen Koeffizienten eine explizite Lösungsformel hergeleitet werden. Dazu seien \((\alpha _n)\) und \((\beta _n)\) zwei vorgegebene reelle Folgen. Weiter sei \((a_n)\) eine Lösung der Differenzengleichung Es sei \(\alpha \in \mathbb {R}\) und es gelte \(\alpha _n = \alpha \) für alle \(n \in \mathbb {N}_0\). Beweisen Sie, dass \((a_n)_{n \in \mathbb {N}_0}\) das explizite Bildungsgesetz erfüllt. Bestimmen Sie im allgemeinen Fall, wenn \((\alpha _n)\) eine beliebig vorgegebene reelle Folge ist, das explizite Bildungsgesetz für die Folge \((a_n)\) und beweisen Sie es. Wir betrachten die Fibonacci-Gleichung Sei \((x_n)\) eine Lösungsfolge von ( 3.7) (zu irgendwelchen Anfangswerten). Zeigen Sie, dass die Folge der Quotienten \(q_n=x_{n+1}/x_n\) konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert. Inwiefern hängt dieser Grenzwert von den Anfangswerten \(x_0\) und \(x_1\) ab? Die Essener Kaninchen sind fruchtbarer als die Kaninchen von Fibonacci. Jedes geschlechtsreife Paar wirft jede Woche statt einem Paar zwei Paare neugeborener Kaninchen. Auch diese Kaninchen brauchen wieder eine Woche, um geschlechtsreif zu werden, und sind unsterblich. Anfangs sei wieder ein neugeborenes Paar vorhanden. Finden Sie eine Modellierung und bestimmen Sie eine explizite Lösungsformel. Bestimmen Sie für \(r,s, b\in \mathbb {R}\) die Lösungen der inhomogenen Differenzengleichung In Aufg.  2.​4 wird ein Nachfrage-Preis-Modell für zwei Anbieter diskutiert, das entdimensionalisiert die folgende Form hat: Dabei sind \(\varphi _1\) die Nachfrage bei Anbieter 1, \(y_1\) der von Anbieter 1 verlangte Preis, \(\gamma _1\) der von Anbieter 1 erzielte Gewinn und Entsprechendes für Anbieter 2. Die Anbieter bestimmen nun nach der folgenden Strategie ihren Preis: Anbieter 1 startet mit einem Preis. Anbieter 2 justiert jetzt seinen Preis so, dass er bei dem gewählten Preis von Anbieter 1 den maximalen Gewinn erwirtschaftet. Jetzt justiert Anbieter 1 seinen Preis neu, so dass er nun den maximalen Gewinn bei dem von Anbieter 2 gewählten Preis erwirtschaftet. Jetzt ändert wieder Anbieter 2 seinen Preis, und so fort. Modellieren Sie die Preisentwicklung mit Hilfe einer Differenzengleichung. Wie entwickeln sich die Preise auf lange Sicht? Was hat das Ganze mit dem Nash-Gleichgewicht zu tun?