Equations of Motion for Incompressible Viscous Fluids
With Mixed Boundary Conditions
- 2021
- Buch
- Verfasst von
- Tujin Kim
- Daomin Cao
- Buchreihe
- Advances in Mathematical Fluid Mechanics
- Verlag
- Springer International Publishing
Über dieses Buch
Diese Monografie untersucht die Bewegung inkomprimierbarer Flüssigkeiten, indem sie verschiedene Randbedingungen präsentiert und einbezieht, die für reale Phänomene möglich sind. Der Ansatz der Autoren führt den Leser sorgfältig durch die Entwicklung flüssiger Gleichungen auf dem neuesten Stand der Forschung und die Anwendung einer Vielzahl von Randbedingungen auf Probleme der realen Welt. Besondere Aufmerksamkeit wird der Äquivalenz zwischen partiellen Differentialgleichungen mit einer Mischung verschiedener Randbedingungen und den damit verbundenen Variationsproblemen geschenkt, insbesondere Variationsungleichheiten mit einer Unbekannten. Ein in sich geschlossener Ansatz wird beibehalten, indem zunächst einführende Themen behandelt werden und dann zu Mischungen von Randbedingungen übergegangen wird, eine gründliche Skizze der Navier-Stokes-Gleichungen, eine Analyse sowohl des stetigen als auch des nicht stetigen Boussinesq-Systems und vieles mehr. Bewegungsgleichungen für inkompressible viskose Flüssigkeiten sind ideal für Doktoranden und Forscher in den Bereichen Flüssigkeitsgleichungen, numerische Analyse und mathematische Modellierung.
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Über dieses Buch
This monograph explores the motion of incompressible fluids by presenting and incorporating various boundary conditions possible for real phenomena. The authors’ approach carefully walks readers through the development of fluid equations at the cutting edge of research, and the applications of a variety of boundary conditions to real-world problems. Special attention is paid to the equivalence between partial differential equations with a mixture of various boundary conditions and their corresponding variational problems, especially variational inequalities with one unknown. A self-contained approach is maintained throughout by first covering introductory topics, and then moving on to mixtures of boundary conditions, a thorough outline of the Navier-Stokes equations, an analysis of both the steady and non-steady Boussinesq system, and more. Equations of Motion for Incompressible Viscous Fluids is ideal for postgraduate students and researchers in the fields of fluid equations, numerical analysis, and mathematical modelling.
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Inhaltsverzeichnis
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Frontmatter
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Chapter 1. Miscellanea of Analysis
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel "Miscellanea of Analysis" bietet eine gründliche Einführung in Schlüsselbegriffe der Analyse, die sich an Leser richtet, die bereits mit den Grundlagen der funktionalen Analyse vertraut sind. Zu den Themen gehören Banach-Räume, Fixpunkt-Theoreme und grundlegende Zuordnungen, die eine solide Grundlage für das Verständnis fortgeschrittenerer Themen bilden. Das Kapitel behandelt auch Lebesgue-Räume und Konvergenz, Sobolev-Räume sowie Operator- und Operator-Differentialgleichungen, was es zu einer wertvollen Referenz für diejenigen macht, die Funktionsanalysen in verschiedenen Bereichen studieren oder anwenden. Darüber hinaus vertieft sich das Kapitel in konvexe Funktionalitäten, wobei wichtige Theoreme und Annäherungen hervorgehoben werden, die für das Verständnis und die Lösung von Problemen in der Funktionsanalyse von entscheidender Bedeutung sind. Insgesamt dient dieses Kapitel als umfassender Leitfaden für grundlegende Konzepte in der Analyse, was es zu einer unschätzbaren Ressource sowohl für Studenten als auch für Fachleute auf diesem Gebiet macht.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter, we outline some knowledge of analysis: Banach space, fixed point, Lebesgue and Sobolev spaces, operator and operator-differential equations and convex functional, which will be used in the main part of this book. We do not describe the best results, but to help readers’ understanding sometimes we say more than necessary. The readers who are already acquainted with the elements of functional analysis can skip this chapter and may consult the necessary parts when reading main part of this book. -
Chapter 2. Fluid Equations
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel beginnt mit der Ableitung der Navier-Stokes-Gleichungen aus den Prinzipien Masse, Impuls und Energieeinsparung. Es stellt sowohl Lagransche als auch Euler'sche Beschreibungen der Flüssigkeitsbewegung vor und diskutiert die Kontinuitätsgleichung sowohl für komprimierbare als auch für inkomprimierbare Flüssigkeiten. Die Navier-Stokes-Gleichungen werden dann für newtonsche Flüssigkeiten formuliert, wobei der Schwerpunkt auf dem nicht komprimierbaren Fall liegt. Das Kapitel untersucht auch verschiedene Randbedingungen, darunter Stock-, Rutsch- und Schwellenbedingungen sowie solche für symmetrische Ebenen, Ein- und Ausläufe und freie Oberflächen. Es schließt mit einer Diskussion von Variationsformulierungen für die Navier-Stokes-Gleichungen mit gemischten Randbedingungen, wobei die Verwendung bilinearer Formen von Dirichlet, Stamm und Vortizität hervorgehoben wird. Dieser umfassende Überblick macht das Kapitel zu einer wertvollen Ressource für das Verständnis der mathematischen Grundlagen der Strömungsdynamik.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter, we first show how the Navier-Stokes equations and the equations of motion for fluid under consideration of heat are derived. Next, we outline some boundary conditions for the Navier-Stokes equations, mainly being concerned with the ones dealt with in this book. Last, we consider three kind of bilinear forms for the Stokes and Navier-Stokes equations, variational formulations for the Navier-Stokes problems with mixed boundary conditions and establish the equivalence between the variational formulations and the original PDE problems. -
Chapter 3. The Steady Navier-Stokes System
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel "Das stetige Navier-Stokes-System" konzentriert sich auf die stetigen Navier-Stokes-Gleichungen mit gemischten Randbedingungen, einschließlich Dirichlet, Druck, Wirbel, Stress und normaler Ableitung der Geschwindigkeit. Es beginnt mit der Diskussion der Variationsformulierungen für diese Bedingungen und der Beziehungen zwischen Belastung, Vortizität, normaler Ableitung der Geschwindigkeit und der Form der Grenzflächen. Die zweite grundlegende Form und der Formenbediener von Oberflächen werden eingeführt, um die Form von Oberflächen mathematisch zu beschreiben. Das Kapitel vertieft dann die Eigenschaften von Vektorfeldern auf Grenzflächen und ihre Beziehungen zu Belastung, Vortizität und normalen Derivaten. Es schließt mit den variierenden Formulierungen der stetigen Probleme und den Beweisen der Existenz und Einzigartigkeit der Lösungen für die Systeme Stokes und Navier-Stokes unter gemischten Randbedingungen.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter, we are concerned with the steady Navier-Stokes systems with mixed boundary conditions involving Dirichlet, pressure, vorticity, stress and normal derivative of velocity together. As we have seen in Sect. 2.3.2, according to what kinds of bilinear forms for variational formulation are used, types of boundary conditions under consideration together are different. The variational formulations in Sect. 2.3.2 do not reflect, for example, the boundary conditions for stress and pressure together, but this case is important in practice. -
Chapter 4. The Non-steady Navier-Stokes System
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel befasst sich mit dem instabilen Navier-Stokes-System und konzentriert sich auf Variationsformulierungen für Probleme mit gemischten Randbedingungen. Sie deckt sowohl Gesamt- als auch statische Druckbedingungen ab und belegt die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen unter bestimmten Annahmen. Der Text zeichnet sich besonders durch seine gründliche Analyse und rigorosen mathematischen Beweise aus, was ihn zu einer wertvollen Ressource für Forscher und Praktiker in der Strömungsdynamik und angewandten Mathematik macht.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with the non-steady Navier-Stokes equations and Stokes equations with mixed boundary conditions including conditions for velocity, pressure, stress, vorticity and Navier slip condition together. As in Sect. 3.2, relying on the result in Sect. 3.1, we embed all these boundary conditions into variational formulations of problems. -
Chapter 5. The Steady Navier-Stokes System with Friction Boundary Conditions
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel befasst sich mit dem stetigen Navier-Stokes-System mit gemischten Randbedingungen wie Tresca-Schlupf, Leck und einseitigen Leckagen. Unter Verwendung bilinearer Formen und Theoreme aus früheren Abschnitten bettet sie diese Randbedingungen in Variationsformulierungen ein. Der Schwerpunkt liegt darauf, Variationsungleichheiten mit einer unbekannten Funktion (Geschwindigkeit) abzuleiten und ihre Äquivalenz zu Variationsformulierungen mit fünf unbekannten Funktionen nachzuweisen. Das Kapitel untersucht auch die Existenz, Einzigartigkeit und Schätzung von Lösungen für die Navier-Stokes-Probleme mit diesen Randbedingungen, hebt die Bedingungen hervor, unter denen einzigartige Lösungen existieren, und liefert eine detaillierte Analyse der variierenden Ungleichheiten und ihrer Lösungen.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with the steady Navier-Stokes systems with mixed boundary conditions which may include Tresca slip condition, leak boundary condition, one-sided leak boundary conditions, velocity, pressure, vorticity, stress and normal derivative of velocity together. Relying on the results in Sect. 3.1 and using the strain bilinear form, we embed all these boundary conditions into variational formulations of corresponding problems. -
Chapter 6. The Non-steady Navier-Stokes System with Friction Boundary Conditions
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel befasst sich mit dem instabilen Navier-Stokes-System mit Reibungsgrenzbedingungen und bettet alle Randbedingungen in Variationsformulierungen ein. Sie führt Variationsungleichheiten ein, die den ursprünglichen PDE-Problemen für reibungslose Lösungen entsprechen, und untersucht die Existenz, Einzigartigkeit und Schätzung von Lösungen für Navier-Stokes und Stokes-Probleme. Das Kapitel befasst sich auch mit dem Fall des Gesamtdrucks und des statischen Drucks, wobei die Existenz und Einzigartigkeit unter bestimmten Bedingungen nachgewiesen wird. Darüber hinaus präsentiert er eine umfassende Analyse des Stokes-Problems mit gemischten Randbedingungen, die die einzigartigen Herausforderungen und Lösungen im Kontext der instabilen Strömungsdynamik hervorhebt.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with the non-steady Navier-Stokes and Stokes problems corresponding to the steady problems in Chap. 5. In Sect. 6.1 relying on the results of Sect. 3.1, we embed all boundary conditions to variational formulations. We get variational inequalities with one unknown which are equivalent to the original PDE problems for the smooth solutions. In Sect. 6.2 we study the existence and uniqueness of solutions to the variational inequalities obtained in Sect. 6.1. In Sect. 6.3 using the results of Sect. 6.2, we get the existence, uniqueness and estimates of solutions to the Navier-Stokes and Stokes problems with the boundary conditions. -
Chapter 7. The Steady Boussinesq System
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel befasst sich mit dem stabilen Boussinesq-System unter gemischten Randbedingungen und adressiert sowohl statische als auch totale Druckszenarien. Es werden Variationsformulierungen eingeführt, die aus einer Variationsungleichheit bei der Geschwindigkeit und einer Variationsgleichung bei der Temperatur bestehen und sich als äquivalent zu den ursprünglichen PDE-Problemen für reibungslose Lösungen erweisen. Das Vorhandensein von Lösungen ist rigoros bewiesen, wobei einzigartige Lösungen unter bestimmten Bedingungen garantiert sind. Das Kapitel behandelt auch Hilfsprobleme und ihre Lösungen und bietet eine gründliche Untersuchung des Verhaltens des Systems unter verschiedenen Randbedingungen.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with the steady Boussinesq system with mixed boundary conditions. The boundary conditions for fluid may include Tresca slip, leak condition, one-sided leak conditions, velocity, pressure, vorticity, stress together and the conditions for temperature may include Dirichlet, Neumann and Robin conditions together. We will get variational formulations consisting of a variational inequality for velocity and a variational equation for temperature, which are equivalent to the original PDE problems for smooth solutions. -
Chapter 8. The Non-steady Boussinesq System
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel behandelt das instabile Boussinesq-System und konzentriert sich dabei auf mathematische Formulierungen und Beweise für die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen unter verschiedenen Randbedingungen. Sie unterscheidet zwischen Problemen, die auf statischem und totalem Druck beruhen, und präsentiert unterschiedliche Formulierungen und Annahmen für jeden Fall. Für den Fall des statischen Drucks beweist das Kapitel die Existenz einer einzigartigen Lösung unter kleinen Datenbedingungen und spezifischen Kompatibilitätsbedingungen. Auch der Fall des totalen Drucks wird angesprochen, was zeigt, dass es eine Lösung ohne Datenbeschränkungen gibt. Das Kapitel bietet eine umfassende Untersuchung des instabilen Boussinesq-Systems und liefert wertvolle Einsichten in das Verhalten der Strömungsdynamik unter unterschiedlichen Bedingungen.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with the non-steady Boussinesq problem corresponding to the steady problem in Chap. 7. The formulations consist of a non-steady variational inequality for velocity and a non-steady variational equation for temperature. For the problem with boundary conditions involving the static pressure and stress, it is proved that if the data of problem are small enough and compatibility conditions at the initial time for velocity and temperature are satisfied, then there exists a unique solution on the given interval. For the problem with boundary conditions involving the total pressure and total stress, the existence of a solution is proved without restriction on the data of problem. -
Chapter 9. The Steady Equations for Heat-Conducting Fluids
Tujin Kim, Daomin CaoDas Kapitel geht den stetigen Gleichungen nach, die wärmeleitende, inkomprimierbare newtonsche Flüssigkeiten mit ableitender Erwärmung unter verschiedenen Randbedingungen regeln. Sie präsentiert Variationsformulierungen, die eine Variationsungleichheit bei der Geschwindigkeit und eine Variationsgleichung bei der Temperatur beinhalten, die den ursprünglichen PDE-Problemen für reibungslose Lösungen entspricht. Die Existenz von Lösungen wird rigoros anhand von Hilfsproblemen und Parameterannäherungen nachgewiesen. Das Kapitel beleuchtet auch die Bedingungen, unter denen Lösungen sowohl für statische als auch für Gesamtdruckfälle existieren, und bietet eine detaillierte Analyse von Anwendungen in den Bereichen Luft- und Raumfahrt sowie Technik. Der Inhalt wird durch bibliographische Anmerkungen bereichert, die das Werk in einen größeren Kontext bestehender Forschung stellen.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with the equation for steady flow of heat-conducting incompressible Newtonian fluids with dissipative heating under mixed boundary conditions. The boundary conditions for fluid may include Tresca slip, leak condition, one-sided leak conditions, velocity, pressure, vorticity, stress together and the conditions for temperature may include Dirichlet, Neumann and Robin conditions together. On the basis of results of Sect. 3.1, we get variational formulations consisting of a variational inequality for velocity and a variational equation for temperature, which are equivalent to the original PDE problems for smooth solutions. -
Chapter 10. The Non-steady Equations for Heat-Conducting Fluids
Tujin Kim, Daomin CaoDieses Kapitel vertieft die Komplexität instabiler Gleichungen für wärmeleitende Flüssigkeiten und konzentriert sich auf die Bewegung inkompressibler newtonscher Flüssigkeiten unter gemischten Randbedingungen. Es beginnt mit der Festlegung einer Variationsformulierung für das Problem, die eine zeitabhängige Variationsungleichheit bei der Geschwindigkeit und eine Variationsgleichung bei der Temperatur umfasst. Das Kapitel belegt dann das Vorhandensein einer Lösung des Problems und zeigt, dass eine Lösung mit einem "Defektmaß" gefunden werden kann, wenn der Auftrieb und die Energieabgabe aufgrund der Expansion klein genug sind. Das Hauptergebnis wird durch eine gründliche Analyse und Schätzung von Lösungen für ein annäherndes Problem gestützt, die das komplizierte Wesen des Problems und die innovativen Ansätze zu seiner Lösung aufzeigen. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion der offenen Herausforderungen und damit verbundener Arbeiten auf diesem Gebiet, wobei die Bedeutung dieser Forschung für unser Verständnis von wärmeleitenden Flüssigkeiten hervorgehoben wird.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we are concerned with a non-steady system for motion of incompressible Newtonian heat-conducting fluids with mixed boundary conditions. The boundary condition for fluid is the case of total pressure and the boundary conditions for temperature may include Dirichlet, Neumann and Robin conditions together. -
Backmatter
- Titel
- Equations of Motion for Incompressible Viscous Fluids
- Verfasst von
-
Tujin Kim
Daomin Cao
- Copyright-Jahr
- 2021
- Electronic ISBN
- 978-3-030-78659-5
- Print ISBN
- 978-3-030-78658-8
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-030-78659-5
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