Ergänzungen und Vertiefungen zu Arens et al., Mathematik

Frontmatter

1. Logik, Mengen, Abbildungen – die Sprache der Mathematik (zu Kap. 2)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 2 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

2. Rechentechniken – die Werkzeuge der Mathematik (zu Kap. 3)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 3 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

3. Reihen – Summieren bis zum Letzten (zu Kap. 8)

Zusammenfassung

Wesentlich weniger bekannt als Reihen sind die unendlichen Produkte. Diese werden im Grunde analog zu Reihen definiert; beim Konvergenzbegriff sind aber einige Feinheiten zu beachten. In vielen Fällen können die Konvergenzuntersuchungen für Produkte auf solche für Reihen zurückgeführt werden.

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 8 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

4. Integrale – vom Sammeln und Bilanzieren (zu Kap. 11)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 11 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

5. Vektorräume – Schauplätze der linearen Algebra (zu Kap. 15)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 15 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

6. Matrizen und Determinanten – Zahlen in Reihen und Spalten (zu Kap. 16)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 16 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

7. Lineare Abbildungen und Matrizen – abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedrückt (zu Kap. 17)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 17 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

8. Eigenwerte und Eigenvektoren – oder wie man Matrizen diagonalisiert (zu Kap. 18)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 18 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

9. Euklidische und unitäre Vektorräume – Geometrie in höheren Dimensionen (zu Kap. 20)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 20 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

10. Lineare Optimierung – ideale Ausnutzung von Kapazitäten (zu Kap. 23)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 23 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

11. Funktionen mehrerer Variablen – Differenzieren im Raum (zu Kap. 24)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 24 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

12. Kurven und Flächen – von Krümmung, Torsion und Längenmessung (zu Kap. 26)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 26 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt. Wird im Folgenden gelegentlich auf einzelne Kapitel verwiesen, so sind damit stets solche aus dem Lehrbuch Mathematik gemeint.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

13. Vektoranalysis – von Quellen und Wirbeln (zu Kap. 27)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 27 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

14. Funktionalanalysis – Operatoren wirken auf Funktionen (zu Kap. 31)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 31 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

15. Funktionentheorie – von komplexen Zusammenhängen (zu Kap. 32)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 32 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

16. Spezielle Funktionen – von Orthogonalpolynomen, Kugel- und Zylinderfunktionen (zu Kap. 34)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 34 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

17. Optimierung und Variationsrechnung – Suche nach dem Besten (zu Kap. 35)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 35 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

18. Deskriptive Statistik – wie man Daten beschreibt (zu Kap. 36)

Zusammenfassung

Deskriptive Statistik ordnet Daten und beschreibt sie in konzentrierter Form. Dagegen schließen wir in der induktiven Statistik aus beobachteten Daten auf latente Strukturen und bewerten unsere Schlüsse innerhalb vorgegebener Modelle der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der deskriptiven Statistik lässt man nur die Daten selbst reden und kommt zumindest bei den ersten Schritten ohne wahrscheinlichkeitstheoretischen Überbau aus. Gegenstand der deskriptiven Statistik sind die Elemente einer Grundgesamtheit, die Eigenschaften der Elemente, die Arten der Merkmale, die Häufigkeiten der einzelnen Ausprägungen und die Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen. Die folgenden Abschnitte sind aus dem Werk Kockelkorn „Statistik für Anwender“ entnommen, beziehen sich inhaltlich auf Kapitel 36 aus Arens et al. Mathematik.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

19. Wahrscheinlichkeit – Die Gesetze des Zufalls (zu Kap. 37)

Zusammenfassung

Der Begriff Wahrscheinlichkeit steht für ein Denkmodell, mit dem sich zufällige Ereignisse erfolgreich beschreiben lassen. Das Faszinierende an diesem Modell ist die offensichtliche Paradoxie, dass mathematische Gesetze für regellose Erscheinungen aufgestellt werden. Über die Frage, was Wahrscheinlichkeit eigentlich inhaltlich ist, und ob Wahrscheinlichkeit an sich überhaupt existiert, sind die Meinungen gespalten.

Die objektivistische Schule betrachtet Wahrscheinlichkeit als eine quasi-physikalische Größe, die unabhängig vom Betrachter existiert, und die sich bei wiederholbaren Experimenten durch die relative Häufigkeit beliebig genau approximieren lässt.

Der subjektivistischen Schule erscheint diese Betrachtung suspekt, wenn sie nicht gar als Aberglaube verurteilt wird. Für die Subjektivisten oder Bayesianer, wie sie aus historischen Gründen auch heißen, ist Wahrscheinlichkeit nichts anderes als eine Gradzahl, die angibt, wie stark das jeweilige Individuum an das Eintreten eines bestimmten Ereignisses glaubt.

Fassen wir einmal die uns umgebenden mehr oder weniger zufälligen Phänomene der Realität mit dem Begriff „die Welt“ zusammen, so können wir überspitzt sagen: Der Objektivist modelliert die Welt, der Subjektivist modelliert sein Wissen über die Welt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

20. Zufällige Variable – der Zufall betritt den R1 (zu Kap. 38)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 38 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

21. Spezielle Verteilungen – Modelle des Zufalls (zu Kap. 39)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 39 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt. Wir beschäftigen uns mit zwei großen Themenkreisen, erstens mit der Erzeugung von Zufallszahlen und zweitens mit weiteren Familien stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Wir haben in Kap. 39 die Gleichverteilung, die Exponentialverteilung und die Normalverteilung als Beispiele für stetige Verteilungen kennengelernt. Die Gleichverteilung ist auf einem Intervall, die Exponentialverteilung auf der positiven Achse \(\left[0,\infty\right)\), die Normalverteilung auf der ganzen reellen Achse definiert. Wir werden nun einige weitere Verteilungen vorstellen, die in der Praxis, vor allem der Ingenieure, eine wichtige Rolle spielen. Diese Verteilungen hängen alle miteinander zusammen, sie gehen durch Transformationen, durch Addition, Multiplikation, Division der durch sie definierten Zufallsvariablen auseinander hervor. Man wird fast automatisch von einer zur anderen Verteilung geleitet. Trotzdem ist es sinnvoll, diese Verteilungen zu formal oder inhaltlich zusammenhängenden Familien zusammenzufassen. Dabei sind die Grenzen natürlich ebenso willkürlich wie fließend.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

22. Schätz- und Testtheorie – Bewerten und Entscheiden (zu Kap. 40)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 40 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt. Wir streifen kurz die Stichprobentheorie und betrachten Eigenschaften geschichteter Stichproben. Wir konstruieren Konfidenzintervalle für die Binomialverteilung. Dann behandeln wir die Schätztheorie aus einem ganz neuen Blickwinkel, nämlich die bayesianische Schätztheorie. Hier wird gefragt: Welche Schätzfunktion minimiert den Erwartungswert des Schadens einer Fehlschätzung? Dabei sind die relevanten Wahrscheinlichkeitsverteilungen die A-posteriori-Verteilungen auf der Basis von A-priori-Vorwissen und der Likelihood aus Stichproben. Schließlich vertiefen wir die Testtheorie mit dem grundlegenden Lemma von Neyman und Pearson und betrachten abschließend nichtparametrische Tests.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

23. Lineare Regression – die Suche nach Abhängigkeiten (zu Kap. 41)

Zusammenfassung

In diesem Kapitel ist das Bonusmaterial zu Kapitel 41 aus dem Lehrbuch Arens et al. Mathematik zusammengestellt.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

24. Elementare Zahlentheorie – Jonglieren mit Zahlen

Zusammenfassung

Die elementare Zahlentheorie, also die Untersuchungen der Eigenschaften der ganzen Zahlen, gehört zu den ältesten Wissenschaften der Mathematik. Euklids Elemente, ein Buch, in dem sich Euklid vor allem mit Fragen zum Aufbau des Zahlensystems beschäftigt, ist eines der meistverkauften Bücher der Welt.

Die Problemstellungen der Zahlentheorie sind oftmals einfach zu formulieren und daher auch mathematischen Laien verständlich. Umso verwunderlicher ist es, dass eine derart alte und vielen zugängliche Wissenschaft so viele ungelöste Probleme aufwirft. So ist etwa nicht bekannt, wie viele Mersenne’sche Primzahlen existieren.

Wir beschreiben den Aufbau des allen von Kindesbeinen an vertrauten Zahlensystems und begründen Rechenregeln, etwa für den größten gemeinsamen Teiler, die jedem aus der Schule vertraut sind, jedoch dort meist nicht bewiesen wurden. Weiter erläutern wir einige offene Probleme der Zahlentheorie.

Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel