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Erschienen in:
01.08.2014 | Erratum
Erratum to: Smale’s Fundamental Theorem of Algebra Reconsidered
Erschienen in: Foundations of Computational Mathematics | Ausgabe 4/2014
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Excerpt
The proof of Lemma 11-(ii), for \(p>1\) is incorrect. Consequently:
1.
Theorem 3 is unproven.
2.
Theorem 2 is incorrect for \(p>1\).
3.
The assertion of the introduction that the homotopies
lead to an average polynomial time algorithm to find approximate zeros for \(f\in \mathcal {H}_{(d)}\) when the Bézout number is polynomial in the input dimension, including the case \(n=1\) and \(D>n^{1+\varepsilon }\), is unproven.
$$\begin{aligned} f_t=f - (1-t) \Delta \left( \frac{\langle \cdot ,\zeta \rangle ^{d_ i}}{\langle \zeta ,\zeta \rangle ^{d_i}}\right) f(\zeta ), \end{aligned}$$
4.
The integral in footnote 1 is infinite. The proof is like Lemma 11-(i).