Erweiterung auf hyperbolische Anfangsrandwertprobleme 2. Ordnung

Wir wenden uns nun einer zweiten wichtigen Klasse von instationären Problemen, denAnfangsrandwertproblemen hyperbolischer Differentialgleichungen zu.Formal unterscheiden sich diese Problemstellungen vom parabolischen Fall nur durch das Auftreten einer zweiten Zeitableitung anstelle einer ersten Zeitableitung und einer zusätzlichen Anfangsbedingung.Mit den Bezeichnungen, die zu Beginn des Kapitels 2 eingeführt wurden, erhalten wir folgende Problemstellung: Gesucht ist eine Funktion

u

auf dem Abschluss

$${\bar Q_T}$$

des Raum-Zeit-Zylinders

Q

T

=Ω× (0,

T

), welche die Differentialgleichung

$$\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}\left( {x,t} \right) + Lu\left( {x,t} \right) = f\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {Q_T},$$

, die Randbedingungen

$$\begin{gathered} u\left( {x,t} \right) = {g_D}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle \left( {x,t} \right) \in {\Gamma _D} \times \left( {0,T} \right), \hfill \\ A\left( x \right)grad u\left( {x,t} \right) \cdot n\left( x \right) = {g_N}\left( {x,t} \right) f\ddot ur alle\left( {x,t} \right) \in {\Gamma _N} \times \left( {0,T} \right) \hfill \\ \end{gathered} $$

und die Anfangsbedingungen

$$\begin{gathered} u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right) f\ddot ur alle x \in \bar \Omega , \hfill \\ \frac{{\partial u}}{{\partial t}}\left( {x,0} \right) = {v_0}\left( x \right) f\ddot ur alle x \in \bar \Omega \hfill \\ \end{gathered} $$

erf üllt.