Erweiterung auf nichtlineare Randwertprobleme

Wir betrachten folgendes nichtlineare Randwertproblem: Gesucht ist eine Funktion u auf

$$ \bar \Omega = \Omega \cup \Gamma $$

, welche die Differentialgleichung

$$ \sum\limits_{i = 1}^d {\frac{\partial } {{\partial x_i }}\left( {q_i (x, u(x), grad u(x))} \right)} + r(x, u(x), grad u(x)) = f(x)f{\text{\"u r alle }}x{\text{ }} \in {\text{ }}\Omega $$

und die Randbedingungen

$$ \begin{gathered} u(x) = g_D (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _D , \hfill \\ - \sum\limits_{i = 1}^d {q_i (x, u(x), grad u(x)) n_i (x)} = g_N (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _N \hfill \\ \end{gathered} $$

erfüllt. Dabei sind

q

i

(

x

, ξ

0

, ξ) für

i

=1, ...,

d

und

r

(

x

, ξ

0

, ξ) vorgegebene Funktionen, die auch nichtlinear von ξ

0

bzw. ξ = (ξ

1

, ... , ξ

d

)

T

abhängen können. Man beachte wieder die Divergenzform der Differentialgleichung. Durch Einführung des Flusses

q

(

x

, ξ

0

, ξ) = (

q

i

(

x

, ξ

0

, ξ))

i

=1

, ... ,

d

lässt sich das Randwertproblem kompakter schreiben:

$$ \begin{gathered} div \left( {q(x, u(x), grad u(x))} \right) + r(x, u(x), grad u(x)) = f(x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Omega , \hfill \\ u(x) = g_D (x)f{\text{\"u }}r alle x \in \Gamma _D , \hfill \\ - q(x, u(x), grad u(x)) \cdot n(x) = g_N (x)f{\text{\"u }}r alle x \in ,\Gamma _N . \hfill \\ \end{gathered} $$

Der früher diskutiertelineare Fall entspricht der Setzung

$$ q(x,\xi _0 ,\xi ) = - A(x)\xi ,r(x,\xi _0 ,\xi ) = b(x) \cdot \xi + c(x)\xi _0 . $$

.