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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

14. Examples of Galois Groups

verfasst von : Alexey L. Gorodentsev

Erschienen in: Algebra II

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

Let us identify the Euclidean coordinate plane \(\mathbb{R}^{2}\) with the field \(\mathbb{C}\) in the standard way.

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Fußnoten
1
See Section 3.5.1 of Algebra I.
 
2
The parametric equation z = a + (b − a) ⋅ t defines the line ℓ a, b as t runs through \(\mathbb{R}\), and defines the circle C a, b as t runs through the unit circle \(\mathop{\mathrm{U}}\nolimits _{1} \subset \mathbb{C}\).
 
3
See Section 13.​3 of Algebra I.
 
4
See Theorem 13.​7 on p. 313.
 
5
Obtained from the relation cos(3φ) = 4cosφ − 3cos2φ for φ = π∕9.
 
6
Recall that the cyclotomic polynomial \(\Phi _{p}(x)\) is irreducible for prime \(p \in \mathbb{N}\) by Eisenstein’s criterion; see Example 5.9 of Algebra I.
 
7
See Example 13.​6 on p. 313.
 
8
See Example 13.​6 on p. 313 and the proof of Corollary 14.2 on p. 14.2.
 
9
Compare with Section 3.6.3 of Algebra I.
 
10
See the discussion after formula (3.​22) of Algebra I.
 
11
See Sect. 5.​4.​2 on p. 111.
 
12
In addition to the already cited Sect. 5.​4.​2, see Exercise 5.15 on p. 111.
 
13
See Section 13.3.1 of Algebra I.
 
14
Note that a 1, a 2, …, a n are polynomials in t 1, t 2, …, t n by Viète’s theorem.
 
15
See Problem 12.3 on p. 294 and Example 13.​1 on p. 298.
 
16
See Section 3.6.3 of Algebra I and compare this problem with Problems 3.38 and 9.7 from Algebra I.
 
17
That is, the integral closure of \(\mathbb{Z}\) in \(\mathbb{K}\).
 
18
See Sect. 14.3 on p. 35.
 
Literatur
[DK]
Danilov, V.I., Koshevoy, G.A.: Arrays and the Combinatorics of Young Tableaux, Russian Math. Surveys 60:2 (2005), 269–334.MathSciNetCrossRef
[Fu]
Fulton, W.: Young Tableaux with Applications to Representation Theory and Geometry. Cambridge University Press, 1997.MATH
[FH]
Fulton, W., Harris, J.: Representation Theory: A First Course, Graduate Texts in Mathematics. Cambridge University Press, 1997.MATH
[Mo]
Morris, S. A.: Pontryagin Duality and the Structure of Locally Compact Abelian Groups, London Math. Society LNS 29. Cambridge University Press, 1977.
Metadaten
Titel
Examples of Galois Groups
verfasst von
Alexey L. Gorodentsev
Copyright-Jahr
2017
Verlag
Springer International Publishing
Buch
Algebra II

Print ISBN: 978-3-319-50852-8

Electronic ISBN: 978-3-319-50853-5

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-319-50853-5_14