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Erschienen in:
2016 | OriginalPaper | Buchkapitel
Examples
verfasst von : René Schilling
Erschienen in: From Lévy-Type Processes to Parabolic SPDEs
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We begin with a useful alternative characterisation of Lévy processes.Theorem 3.1.Let $$ X = \left( {X_t } \right)_{t \geqslant 0} $$ be a stochastic process with values in $$ \mathbb{R}^d, \,X_0 = 1\,a.s.,\,and\,\mathcal{F}_t = \mathcal{F}_t^X = \sigma \left( {X_r, \,r \leqslant t} \right) $$ . The process X is a Lévy process if, and only if, there exists an exponent $$ \psi :\,\mathbb{R}^d \to \mathbb{C} $$ such that3.1 $$ E\left( {e^{i\xi \cdot \left( {X_t - X_s } \right)} \left| {F_s } \right.} \right) = e^{ - \left( {t - s} \right)\psi \left( \xi \right)} \,for\,all\,s < t,\,\xi \in \mathbb{R}^d $$