Faszinierende Integralrechnung

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Kapitel 1. Eine Einführung – Integralrechnung ohne Integralrechnung

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   Die ersten Prinzipien der Integralrechnung waren schon den alten Griechen bekannt. Archimedes von Syrakus verwendete der Überlieferung zufolge eine Methode, die in den wesentlichen Zügen an die Integralrechnung erinnert – und die wir im nächsten Abschnitt sehr detailliert analysieren werden –, um Flächeninhalte von Parabelsegmenten zu berechnen. Archimedes erkannte, dass die Fläche der beiden Dreiecke \(\Delta APC\) und \(\Delta CQB\) (dunkelgraue Fläche in Abb. 1.1) genau ein Viertel der Fläche \(A_{\Delta }\) des Dreiecks \(\Delta ACB\) (hellgraue Fläche) beträgt, sofern die vertikalen Geraden durch P, C und Q die Strecke \(\overline{AB}\) in vier gleiche Abschnitte teilen.

3. Kapitel 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   Wir wollen nun an das Problem aus dem letzten Kapitel anknüpfen und die systematische Berechnung einer Stammfunktion angehen.

4. Kapitel 3. Integrationsmethoden

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, den wir im letzten Kapitel gezeigt haben, zeigt uns zwar einen Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion auf, gibt uns aber keine explizite Anleitung, wie man in konkreten Fällen die Stammfunktion einer Funktion bestimmt. Und genau diese Werkzeuge wollen wir hier entwickeln.

5. Kapitel 4. Anwendungen der Integralrechnung in der Geometrie und in der Physik

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   Obwohl wir die Integralrechnung zu Beginn durch eine rein geometrische Fragestellung motiviert haben, spielt sie eine absolut tragende Rolle in der gesamten Mathematik und in allen Naturwissenschaften. Bevor wir aber zu den einzelnen (mathematischen und naturwissenschaftlichen) Anwendungen kommen, sollten wir zunächst einmal den tieferen Grund für die permanente Anwesenheit des Integrationsprozesses etwas eingehender analysieren.

6. Kapitel 5. Uneigentliche Integrale

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   Lieber Leser, unser Integralbegriff, den wir bisher eingeführt und sehr ausführlich diskutiert haben, genügt in einigen Anwendungen nicht. Im mathematischen, aber auch im naturwissenschaftlichen Kontext treten manchmal Integrale auf, die von unseren bisherigen Betrachtungen nicht gedeckt werden. Dieses Kapitel dient deshalb in erster Linie dazu, unsere Theorie und unsere praktischen Techniken auf bestimmte bisher nicht behandelte Fälle auszuweiten und zu diskutieren.

7. Kapitel 6. Numerische Methoden – Integralrechnung (fast) ohne Integralrechnung

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   In den letzten Kapiteln sind wir immer wieder auf das Problem gestoßen, ein bestimmtes Integral nicht exakt auswerten zu können. Speziell in den vorangegangenen Beispielen konnten wir das vorgegebene Integral im Endeffekt – teilweise mit äußerst komplexen Kunstgriffen – zwar immer auswerten, aber dies lag selbstverständlich daran, dass ich die Beispiele so präpariert habe, dass dies auch möglich ist. Generell ist dies aber lange nicht immer der Fall. Sogar ganz im Gegenteil: Viele der in praktischen Problemstellungen auftretenden Integrale lassen sich leider nicht exakt bestimmen. Und das Problem ist sogar noch viel allgemeinerer Natur. Oft tauchen in der Praxis Gleichungen, Integrale, (partielle) Differentialgleichungen oder, allgemein gesprochen, mathematische Probleme auf, deren Lösung nachweislich nicht in kompakter exakter Form angegeben werden kann.

8. Kapitel 7. Ein Exkurs über Integration im Mehrdimensionalen

   Sergei Kovalenko

   Zusammenfassung

   In diesem optionalen Kapitel erweitern wir unsere Konzepte der gewöhnlichen Integralrechnung auf höhere Dimensionen. Tatsächlich ist die Integration im Mehrdimensionalen weitaus komplexer als der eindimensionale Fall, insofern bietet dieses Kapitel dir lediglich einen sehr kleinen Einblick in dieses Thema. Wenn die eindimensionale Integration also etwa einen Inhalt eines Wassertropfens besitzt, so hat die mehrdimensionale Integration etwa den Inhalt einer ganzen Badewanne.

9. Backmatter