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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

3. Feldtheoretische Grundlagen

verfasst von : Harald Klingbeil

Erschienen in: Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die grundlegenden Gleichungen der Theorie elektromagnetischer Felder sind die Maxwellgleichungen. Sie lassen sich sowohl in einer Differentialform als auch in einer Integralform schreiben. In diesem Kapitel werden die makroskopischen Maxwellgleichungen in Materie zugrunde gelegt. Alle wesentlichen Größen werden eingeführt, und die Differentialform der Maxwellgleichungen wird aus der Integralform abgeleitet. Stetigkeitsbedingungen, die an Materialübergängen gelten, werden ausführlich diskutiert. Das grundlegende Vorgehen bei der Lösung von Feldproblemen wird analysiert. Schließlich werden die Maxwellgleichungen im Frequenzbereich, Energieausdrücke und Verbindungen zur Mechanik behandelt.

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Fußnoten
1
auch dielektrische Verschiebung, elektrische Verschiebung, elektrische Erregung, elektrische Induktion oder elektrische Flussdichte genannt.
 
2
auch magnetische Feldstärke genannt.
 
3
auch magnetische Induktion genannt.
 
4
Vom Ampère’schen Durchflutungsgesetz im engeren Sinne (s. Abschn. 4.​2) spricht man, wenn der Verschiebungsstrom \(\int _{A}\dot{\vec {D}}\cdot \textrm{d}\vec {A}\) gleich null ist und nur der Leitungsstrom \(\int _{A}\vec {J}\cdot \textrm{d}\vec {A}\) vorhanden ist.
 
5
kurz Strom genannt.
 
6
Als einfachstes Beispiel eines dreidimensionalen Bereichs V kann man wieder die Vollkugel aus Abb. 2.​3 betrachten und deren Rand \(\partial V\) wie in der Abbildung gezeigt in \(m=2\) Halbsphären \(A_{1}\) und \(A_{2}\) zerlegen. Dann handelt es sich bei \(\partial A_{1}\) und \(\partial A_{2}\) um dieselbe Kreiskurve, die aber jeweils gegensinnig orientiert ist.
 
7
Beispielsweise nimmt die magnetische Flussdichte im Eisen unter Umständen andere Werte an, wenn man die magnetische Erregung zunächst ansteigen und anschließend wieder auf den ursprünglichen Wert sinken lässt. Trägt man B über H auf, so bezeichnet man die Durchtrittspunkte der Hysteresekurve durch die Abszisse (\(B=0\)) als Koerzitiverregung \(H_{\textrm{c}}\). Die Durchtrittspunkte durch die Ordinate (\(H=0\)) nennt man Remanenzflussdichte \(B_{\textrm{r}}\). Dauermagnete bzw. Permanentmagnete, von denen trotz fehlender Erregung ein Magnetfeld ausgeht, weisen eine relativ hohe Remanenzflussdichte auf. Auch ihre Koerzitiverregung sollte möglichst groß sein, damit durch den Einfluss äußerer Felder keine versehentliche Entmagnetisierung erfolgt. Somit muss bei Dauermagneten die Hysteresekurve eine möglichst große Fläche umschließen; man spricht von hartmagnetischen Materialien. Weichmagnetische Materialien haben eine kleinere Hysteresefläche. Sie lassen sich aufgrund der damit verbundenen geringeren Hystereseverluste beispielsweise im Transformatorenbau einsetzen.
 
8
Der Begriff des Tensors wird im Vertiefungsband eingeführt; an dieser Stelle genügt es, sich die Materialgrößen als Matrizen vorzustellen.
 
9
auch Dielektrizitätskonstante genannt.
 
10
auch Dielektrizitätszahl oder Permittivitätszahl genannt.
 
11
auch Permeabilitätszahl genannt.
 
12
Handelt es sich bei der Grenzschicht um eine Doppelschicht, die ortsabhängige Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen in geringem Abstand aufweist, so ist im Allgemeinen \(E_{2t}-E_{1t}\ne 0\). Solche Doppelschichten sollen in diesem Buch aber nicht zugelassen werden. Erst im Vertiefungsband werden entsprechende Dipoldichten behandelt.
 
13
Ein Grenzwert \(\lim _{h\rightarrow 0}Jh\) kann sich nur unter Zuhilfenahme der Distributionentheorie einstellen, da J dann unendlich groß werden muss. Liegt die Grenzfläche bei \(z=0\) und fließt der Strom I verteilt in dieser Grenzfläche in y-Richtung, so gilt
$$\begin{aligned} J=J_{\textrm{F}}\delta (z). \end{aligned}$$
(3.39)
Für den Strom gilt dann offenbar
$$\begin{aligned} I=\int \vec {J}\cdot \textrm{d}\vec {A}=\int \int J\textrm{d}z\,\textrm{d}x=\int J_{\textrm{F}}\textrm{d}x. \end{aligned}$$
(3.40)
Anstelle von \(J_{\textrm{F}}=\lim _{h\rightarrow 0}Jh\) schreibt man dann im Sinne der Distributionentheorie
$$\begin{aligned} J_{\textrm{F}}=\int J\textrm{d}z. \end{aligned}$$
Wie man sieht, hat die Flächenstromdichte \(J_{\textrm{F}}\) die Einheit \(1\,\frac{\textrm{A}}{\textrm{m}}\), da man sie im vorliegenden Fall nur über x integrieren muss, um den Gesamtstrom I zu erhalten. Die echte Stromdichte J hingegen muss über die gesamte Querschnittsfläche integriert werden, um I zu berechnen, sodass sie die Einheit \(1\,\frac{\textrm{A}}{\textrm{m}^{2}}\) besitzt. Bei der Flächenstromdichte \(J_{\textrm{F}}\) wurde die Integration senkrecht zur Grenzfläche quasi bereits implizit ausgeführt.
 
14
Bei allen Ausdrücken wird von reellen Momentanwerten der Felder ausgegangen; es ergeben sich somit Momentanwerte für die Leistung bzw. für die Energie. Geht man hingegen bei harmonischen Signalverläufen zu komplexen Amplituden (Phasoren) über, so ist der zweite Faktor unter dem Integral als konjugiert komplexe Amplitude zu schreiben und der Realteil des Integrals zu bilden. Außerdem tritt ein zusätzlicher Faktor 1/2 auf, der durch die zeitliche Mittelung entsteht (Abschn. 1.​4.​2). Für die in einem Volumen gespeicherte elektrische Energie tritt dann beispielsweise
$$\begin{aligned} \bar{W}_{\textrm{el}}=\frac{1}{4}{\text {Re}}\left\{ \int \limits _{V}\vec {E}\cdot \vec {D}^{*}\textrm{d}V\right\} \end{aligned}$$
an die Stelle von (3.72). Für die im Mittel durch eine Fläche transportierte Wirkleistung erhält man anstelle von (3.77)
$$\begin{aligned} \bar{P}=\frac{1}{2}{\text {Re}}\left\{ \int \limits _{A}(\vec {E}\times \vec {H}^{*})\cdot \textrm{d}\vec {A}\right\} . \end{aligned}$$
Die zeitliche Mittelung bezieht sich bereits auf den Integranden, sodass der komplexe Poyntingvektor als
definiert wird. Oftmals (auch in diesem Buch) werden die Querstriche, die die zeitliche Mittelung anzeigen, weggelassen. In diesem Buch kennzeichnen wir meistens auch komplexe Amplituden nicht besonders, schreiben für den Phasor der elektrischen Feldstärke also unverändert \(\vec {E}\). Es wird dann im Text verdeutlicht, dass komplex gerechnet wird.
Die Realteilbildung in den obigen Ausdrücken entfällt, wenn man anstelle der Wirkleistung die Scheinleistung betrachtet. Das Vorgehen ist völlig analog zur Wechselstromlehre mit komplexen Amplituden, sodass hier nicht näher darauf eingegangen werden soll. Besonders ausführlich werden Energiebetrachtungen mittels Phasoren in [5], Kapitel 10, diskutiert.
 
15
Während sich der Ableitungspunkt bisher gemäß (3.1) auf eine partielle Ableitung \(\frac{\partial }{\partial t}\) bezog, liegen hier totale Ableitungen \(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}\) vor, da die Argumente nicht ortsabhängig sind.
 
16
Manche Autoren halten dies für inakzeptabel, und es wurden sogar kompliziertere Alternativausdrücke für die Energieflussdichte vorgeschlagen, um zu plausibleren Ergebnissen zu gelangen. Andere Autoren (wie Feynman [11], der entsprechende Beispiele ausführlich diskutiert) vertreten hingegen die Ansicht, dass die mit dem Poyntingvektor ermittelte Energieflussdichte auch in solchen Fällen als physikalische Realität anzusehen ist.
 
17
Der erste, elektrische Anteil in (3.80) ist  die Coulombkraft, der zweite, magnetische Anteil heißt Lorentzkraft. Bisweilen wird auch der gesamte Ausdruck als Lorentzkraft bezeichnet.
 
18
Bei den Feldern \(\vec {E}\) und \(\vec {B}\) handelt es sich um die äußeren Felder (Fremdfelder) am Ort \(\vec {s}\).
 
Metadaten
Titel
Feldtheoretische Grundlagen
verfasst von
Harald Klingbeil
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Grundlagen der elektromagnetischen Feldtheorie

Print ISBN: 978-3-662-65125-4

Electronic ISBN: 978-3-662-65126-1

Copyright-Jahr: 2022

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-65126-1_3

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