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2011 | Buch | 3. Auflage

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Festigkeitslehre

Ein Lehr- und Arbeitsbuch

verfasst von: Professor Dr.-Ing. Jens Wittenburg, Prof. Dr.-Ing. Eduard Pestel

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : Klassiker der Technik

Enthalten in: Professional Book Archive

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Über dieses Buch

Die „Klassiker der Technik“ sind unveränderte Neuauflagen traditionsreicher ingenieurwissenschaftlicher Werke. Wegen ihrer didaktischen Einzigartigkeit und der Zeitlosigkeit ihrer Inhalte gehören sie zur Standardliteratur des Ingenieurs, wenn sie auch die Darstellung modernster Methoden neueren Büchern überlassen. So erschließen sich die Hintergründe vieler computergestützter Verfahren dem Verständnis nur durch das Studium des klassischen fundamentaleren Wissens. Oft bietet ein „Klassiker“ einen Fundus an wichtigen Berechnungs- oder Konstruktionsbeispielen, die auch für viele moderne Problemstellungen als Musterlösungen dienen können.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Lehrbuch

Frontmatter

1. Spannungen

Zusammenfassung

Schneidet man aus einem irgendwie belasteten Körper, der sich im Gleichgewicht befindet, ein Teil heraus, so muß man an den Schnittflächen Kräfte anbringen, damit das herausgeschnittene Teil weiterhin im Gleichgewicht ist. Es sind dies die inneren Kräfte, die im unzerschnittenen Körper von den umgebenden Teilen tatsächlich ausgeübt werden. Wenn der Körper starr ist, kann man über die Verteilung der Kräfte auf die Schnittfläche nichts aussagen, weil das Problem statisch unbestimmt ist. Man kann dann nur von der Resultierenden der Kräfte und von ihrem resultierenden Moment sprechen. Typische Beispiele für derartige resultierende Größen sind die Schnittgrößen an der Querschnittsfläche eines starren Stabes. Die Frage nach der Verteilung der Schnittkräfte auf eine Fläche ist nur dann sinnvoll, wenn der Körper Stoffeigenschaften besitzt, die eine Verteilung zulassen. Elastische und plastische Stoffeigenschaften, von denen dieses Buch handelt, lassen stetige Verteilungen zu. Die zur Beschreibung einer stetigen Kräfteverteilung geeignete physikalische Größe ist die Spannung. Man definiert den sog.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

2. Verformungen. Verzerrungen

Zusammenfassung

Der einfachste Fall von Verformung ist bei einem Zugstab zu beobachten. Abb. 2.1 dient zur Erläuterung. Der Zugstab trägt zwei Marken, die vor der Verformung den Abstand ℓ haben. Ihre Lage vor der Verformung wird durch die Koordinaten x = 0 und x = ℓ auf einer x-Achse angegeben, die raumfest, d. h. nicht auf dem Stab fest ist. Als Ergebnis irgendwelcher physikalischer Einwirkungen, die hier nicht interessieren (Bewegungen, Temperaturänderungen, Kräfte), verschieben sich die Punkte des Stabes längs der x-Achse. Dabei kann sich die Entfernung der Meßmarken ändern, sie muß sich aber nicht ändern. Diese Überlegung zeigt, daß man zwischen Verschiebungen und Verformungen unterscheiden muß. Als Maß für die Verschiebung wird die Funktion u(x) eingeführt. Sie ist definiert als die Verschiebung in x-Richtung, die ein Punkt erfährt, der sich ursprünglich an der Stelle x befunden hat. In Abb. 2.1 sind die Verschiebungen u(0) und u(ℓ) der beiden Meßmarken des Stabes gekennzeichnet.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

3. Stoffgesetze

Zusammenfassung

Im Kapitel über Spannungen wurden alle Aussagen aus Gleichgewichtsbedingungen gewonnen. Verformungen spielten dabei keine Rolle. Im Kapitel über Verzerrungen wurden rein geometrische Betrachtungen angestellt. Kräfte und Spannungen spielten dabei keine Rolle. In diesem Kapitel werden nun Beziehungen zwischen Spannungen einerseits und Verzerrungen andererseits eingeführt. Diese Beziehungen beschreiben Eigenschaften von Werkstoffen. Sie sind Stoffgesetze, die experimentell ermittelt werden können.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

4. Normalspannungen in Stäben und Scheiben

Zusammenfassung

Aufgaben der Elastizitätstheorie und der Festigkeitslehre bestehen darin, Zusammenhänge zwischen den äußeren Kräften an einem Bauteil, den Spannungen in seinem Innern und seinen Verformungen darzustellen und die Unbekannten unter diesen Größen durch die in der Aufgabenstellung gegebenen Größen auszudrücken. Wenngleich die Einzelheiten der Rechnung in jeder Aufgabe anders aussehen, besteht grundsätzlich jede Problemlösung aus drei Abschnitten, die sich klar gegeneinander abgrenzen lassen. Jeder Abschnitt entspricht in seiner Thematik einem der Kapitel 1, 2 und 3 des Buches.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

5. Biegung gerader Stäbe

Zusammenfassung

Gerade Stäbe, die durch äußere Belastungen gebogen werden, sind wichtige Konstruktionselemente von Tragwerken. Im Unterschied zum Zugstab, bei dem Spannungen und Verschiebungen nur von einer einzigen Koordinate x entlang der Stabachse abhängen, treten beim Biegestab Spannungen und Verschiebungen in drei Koordinatenrichtungen auf. Bei einer mathematisch strengen Beschreibung des Biegeproblems erweisen sich alle Spannungen und Verschiebungen als Funktionen von drei Koordinaten des Raumes. Sie treten überdies in gekoppelten partiellen Differentialgleichungen auf, z.B. in der Form von (2.23). Für technisch interessierende Stabformen und Belastungsfälle können i. allg. keine exakten Lösungen gefunden werden. Eine technische Biegetheorie kann sich mit guten Näherungslösungen begnügen, die aus vereinfachten, d. h. nicht exakten Lösungsansätzen gewonnen werden. Damit die Lösungsansätze dieses Kapitels hinreichend genau sind, muß die geometrische Form der Stäbe drei Bedingungen erfüllen:

Bedingung I

Die Verbindungslinie der Flächenschwerpunkte aller Stabquerschnitte bildet eine Gerade. Diese Gerade heißt Stabachse.

Bedingung II

Die größte Querschnittsabmessung des Stabes ist klein im Verhältnis zur Stablänge.

Bedingung III

Querschnittsveränderungen längs der Stabachse dürfen sprunghaft sein. Stetige Querschnittsveränderungen dürfen andererseits nur ganz allmählich erfolgen. Stetige Querschnittsveränderungen dürfen nicht so geartet sein, daß der Stab längs seiner Achse verwunden ist.

Mit der ersten Bedingung wird erreicht, daß man sich bei der Beschreibung der Durchbiegung auf die Angabe der sog. Biegelinie beschränken kann. Das ist diejenige Linie, die die Stabachse nach der Verformung annimmt. Die Notwendigkeit für die Bedingungen II und III wird erst im Laufe des Kapitels klar. Das Verbot einer Verwindung des Stabes in Bedingung III wird noch genauer formuliert. Gemeint ist, daß sich das System der sog. Hauptachsen der Stabquerschnitte längs der Stabachse nicht drehen darf. Der Begriff Hauptachsen wird erst in Abschnitt 5.2 definiert.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

6. Torsion gerader Stäbe

Zusammenfassung

An vielen stabförmigen Bauteilen des Maschinenbaus und des Bauwesens greifen Torsionsmomente an. Das Torsionsmoment M_T-(x) ist eine Schnittgröße des Stabes, und zwar die axiale Momentenkoordinate, die man erhält, wenn man den Schubmittelpunkt des Stabquerschnitts als Bezugspunkt wählt. Das Torsionsmoment verursacht Verdrehungen des Stabes um seine Längsachse, Wölbungen der Stabquerschnitte und Spannungen im Stab. Nur gerade Stäbe werden betrachtet. Verformungen und Spannungen sind am einfachsten zu berechnen, wenn für die Querschnittsform des Stabes und für die Schnittgröße Torsionsmoment folgende Voraussetzungen gelten:

I. Der Stabquerschnitt ist zentralsymmetrisch, also entweder kreis- oder kreisringförmig (Abb. 6.1).
II. Der Stabquerschnitt und das Torsionsmoment sind längs der Stabachse konstant.

Dieser Sonderfall wird zuerst behandelt. Die Ergebnisse werden anschließend so verallgemeinert, daß die Bedingung II entfällt. Die Aufgabe von Bedingung I ist schwieriger. Stäbe mit nicht kreis- oder kreisringförmigen Querschnitten werden in den Abschnitten 6.2 bis 6.5 behandelt.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

7. Überlagerung von Belastungsfällen. Vergleichsspannungen

Zusammenfassung

Stabförmige Bauteile sind i.allg. nicht nur durch eine Längskraft oder nur auf Biegung oder nur auf Torsion belastet, sondern unterliegen einer Überlagerung von Lastfällen. Im folgenden werden Spannnungsverteilungen für überlagerte Belastungen berechnet, und zwar durch Anwendung des Superpositionsprinzips.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

8. Energie-Methoden der Elastostatik

Zusammenfassung

In den Kapiteln 4 bis 6 wurden Verschiebungen, Verzerrungen und Spannungen berechnet, die in geraden Stäben bei gegebenen äußeren Lasten auftreten. Die Vorgehensweise war in allen Fällen gleich. Für das unver-formte System wurden Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt. Sie enthalten die gegebenen äußeren Lasten und die gesuchten Spannungen. Am verformten System wurden geometrische Beziehungen formuliert. Sie enthalten gegebene geometrische Randbedingungen und die gesuchten Verschiebungen und Verzerrungen. Schließlich wurde das Stoffgesetz zur Kopplung von Spannungen und Verzerrungen hinzugezogen. Daraus konnten dann alle Unbekannten bestimmt werden. Von den drei Teilbereichen Gleichgewicht, Geometrie und Stoffgesetz bereitete insbesondere die Erkennung von geometrischen Zusammenhängen Schwierigkeiten. Diese Schwierigkeiten werden noch beträchtlich größer, wenn statt gerader Stäbe kompliziertere Systeme untersucht werden, z.B. gekrümmte Stäbe, Fachwerke, Scheiben, Platten usw. Sehr schnell wird die Grenze erreicht, bei der die Schwierigkeiten unüberwindbar werden. Für solche Fälle werden daher neue Berechnungsmethoden benötigt.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

9. Die Methode der finiten Elemente

Zusammenfassung

In Kap. 8 wurden Verformungen und innere Kräfte von Systemen berechnet, die in verhältnismäßig einfacher Weise aus Zug- und Druckstäben, Torsionsstäben und Biegestäben aufgebaut sind. Diese drei Bauteile wurden deshalb immer wieder als Beispiele herangezogen, weil für sie der Zusammenhang zwischen generalisierten Kräften und generalisierten Verschiebungen in geschlossener Form mathematisch darstellbar ist. Wenn man systematisch vorgeht, lassen sich auch Systeme berechnen, die in sehr komplizierter Weise aus den drei Bauteilen zusammengesetzt sind. Am Beispiel von Fachwerken, die nur aus Zug- und Druckstäben bestehen, soll das im einzelnen geschildert werden. Abb. 9.1 zeigt einen beidseitig freigeschnittenen Stab eines Fachwerks mit den Schnittkräften F₁ und F₂ in Stabrichtung. Die Verschiebungen der Stabenden in Stabrichtung werden u₁ und u₂ genannt.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

10. Knickprobleme

Zusammenfassung

In Abb. 10.1 (Fall II) zeigt die dick gezeichnete Linie einen beidseitig gelenkig gelagerten Stab mit konstantem Querschnitt. Man stelle sich vor, daß die Kraft F so genau, wie experimentell möglich, entlang der Stabachse wirkt. Aus Erfahrung ist jedem bekannt, wie sich der Stab verhält, wenn die Größe von F von null beginnend langsam gesteigert wird. Der Stab bleibt gerade, solange F hinreichend klein ist. Bei Überschreiten einer gewissen kritischen Last F_k wird er plötzlich gebogen (gestrichelte Linie). Man sagt, der Stab knickt. Bei dünnen, langen Stäben tritt das Knicken ein, bevor die Längsspannung die höchstzulässige Spannung an der Elastizitätsgrenze erreicht. Es handelt sich also nicht um ein Versagen des Werkstoffs, sondern um ein Instabilitätsproblem. Die gerade Lage des Stabes ist stabil, wenn F < F_k ist und sie ist instabil, wenn F > F_k ist.

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

11. Stabwerke mit plastischen Deformationen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden Stäbe und Stabwerke bei Belastungen untersucht, die plastische Deformationen verursachen. Dazu werden aus Kap. 3, Abb. 3.6a,b die Spannungs-Dehnungs-Diagramme des linearelastisch-idealplastischen und des starr-plastischen Zug- bzw. Druckstabes übernommen (Abb. 11.1a, b).

Jens Wittenburg, Eduard Pestel

Backmatter

Titel: Festigkeitslehre
verfasst von: Professor Dr.-Ing. Jens Wittenburg
Prof. Dr.-Ing. Eduard Pestel
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-642-56457-4
Print ISBN: 978-3-642-62653-1
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-56457-4