Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

Das vorliegende Werk ist ein Lehr- und Arbeitsbuch für den Selbstunterricht, für die Rechenpraxis und für Übungen. Es richtet sich an jeden Interessierten, mag er Physiker oder Ingenieur, Analytiker oder Numeriker, Chemiker oder Geowissenschaftler sein, mag er große oder geringe Vorkenntnisse besitzen. Im Teil über finite Differenzen soll der Leser von einfachsten Aufgaben bis hin zu komplexen Problemen und Techniken (numerische Dispersion, upstream-weighting, Vorkonditionierung von Gleichungssystemen usw.) geführt werden, und zwar von der analytischen Fassung der Aufgabe bis zum fertigen, knappen, für dieses Buch entwickelten Programm (in Fortran 77 geschrieben). Der Teil über finite Elemente setzt keine Strukturmechanik voraus. Er spricht Leser an, die finite Elemente als Alternative zu finiten Differenzen betrachten und nur Kenntnisse aus der Differential- und Integralrechnung mehrerer Variablen mitbringen. Deshalb wird die Finite-Element-Methode in einfacher Weise aus dem Grundgedanken des Ritzschen Prinzips entwickelt, und zwar von der Differentialgleichung über die zugehörige Variationsaufgabe zum algebraischen Gesamtgleichungssystem.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Finite Differenzen

Frontmatter

0. Allgemeine Grundlagen

Zusammenfassung
Die Buchstaben x, y, z bezeichnen zumeist kartesische Ortskoordinaten und t die Zeit. Partielle Ableitungen wie әu/әx (Ableitung von u nach x bei festgehaltenem y,z,t) oder әu/әt (Ableitung von u nach t bei festgehaltenem x, y, z) usw. werden in diesem Buch fast ausschließlich ux bzw. ut usw. geschrieben. Die Indizes i, j, k bzw. I, J, K stehen nie für Ableitungen; sie legen vielmehr Punkte, insbesondere Raumpunkte, fest. So bezeichnet uXX die zweite partielle Ableitung von u nach x, uij den Wert von u im Punkt (i, j) und (uXX)i, j den Wert von uxx im Punkt (i, j). Sind u,v,w,... Lösungen von Differentialgleichungen, so sind U,V,W,... zugehörige Näherungen.
Dietrich Marsal

1. Grundlagen der Differenzenmethode

Zusammenfassung
Das Prinzip der Differenzenmethode ist einfach. Alle Ableitungen der zu lösenden Differentialgleichung werden durch Differenzenquotienten ersetzt, die aus der Definition der Ableitung oder der Formel von Taylor folgen. Durch diese “Diskretisierung” geht die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung über, deren Lösung mit numerischen Methoden erfolgt. Alle Diskretisierungsbeziehungen haben die Form
Ableitung = Differenzenquotient + Diskretisationsfehler
Dietrich Marsal

2. Parabolische Gleichungen I

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir die Lösung der parabolischen Wärmeleitungsgleichung div grad u + Q(x, y, z, t) = cut in einer und mehreren Dimensionen für kartesische Koordinaten auf einfachen Grundgebieten und für die wichtigsten Randbedingungen (die Dirichletsche, die Neumannsche und die gemischte Randbedingung, Strahlung, natürliche Konvektion und das Newtonsche Abkühlungsgesetz). Unregelmäßig berandete Gebiete,nichtkartesische Koordinaten und nichtlineare parabolische Gleichungen mit ortsabhängigen Koeffizienten und anderen Eigentümlichkeiten werden insbesondere in Kapitel 5 und ab Ziffer 3.9 behandelt.
Dietrich Marsal

3. Elliptische Gleichungen

Zusammenfassung
Während im vorigen Kapitel alle Probleme einheitlich mit Hilfe des speziellen Algorithmus TRIDIA gelöst wurden, seien nun allgemeinere Methoden eingeführt. Im Vordergrund stehen die direkte Lösung und ein Mehrgitterverfahren für die Gleichungen von Helmholtz, Laplace und Poisson auf Rechtecken sowie nichtlineare selbstadjungierte elliptisch-parabolische Gleichungen auf unregelmäßig berandeten Gebieten, gelöst durch eine iterative Variante des Verfahrens von Douglas und Rachford.
Dietrich Marsal

4. Hyperbolische Gleichungen

Zusammenfassung
Dieses Kapitel führt in die numerische Lösung der Wellengleichung und der Gleichungen erster Ordnung ein. Im Mittelpunkt der Konvergenz- und Stabilitätsbetrachtungen steht das CFL-Kriterium von Courant, Friedrichs und Lewy. Großer Wert wird auf die Meisterung der numerischen Längsdispersion gelegt, die sich bei Gleichungen erster Ordnung leider so häufig bemerkbar macht. Alle besprochenen Differenzenformeln sind explizit und damit einfach programmierbar. Halbanalytische und statitistische Verfahren (Charakteristikenmethode, Laplace-Transformation mit numerischer Inversion und random walk) und hier nicht behandelte Differenzengleichungen werden im Literaturverzeichnis angesprochen.
Dietrich Marsal

5. Parabolische Gleichungen II

Zusammenfassung
Dieses Kapitel führt tief in die Praxis, wobei vieles auch bei elliptischen Problemen und finiten Elementen Anwendung finden kann. Neben manchem anderen stehen insbesondere dreidimensionale Probleme, die einfache und elegante Behandlung beliebig geformter (auch zeitabhängiger) Definitionsbereiche, die Verminderung der numerischen Dispersion und das Arbeiten mit stream weighting im Vordergrund. Praktisch alle Probleme sind nicht-linear.- Die Einführung in einfache Techniken der Lösung linearer Gleichungssysteme wird mit der Besprechung der SOR-Methode weitergeführt.
Dietrich Marsal

6. Große lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Kapitel 6 dient der Vertiefung und Erweiterung der Kenntnisse zur Lösung großer linearer Gleichungssysteme. Vorteile und Nachteile aller bisher besprochenen Verfahren werden systematisch miteinander verglichen, und der Leser erhält mit der Besprechung der Gradientenmethoden ein Rüstzeug, das zwar programmieraufwendig ist aber besonders geeignet zur Meisterung sehr großer Gleichungssysteme.
Dietrich Marsal

Finite Elemente

Frontmatter

7. Einführung in die Methode der finiten Elemente

Zusammenfassung
Bei der Methode der finiten Differenzen (behandelt in Kapitel 1–5) wird der Definitionsbereich einer Differentialgleichung bzw. ihrer Lösung durch ein diskretes Punktgitter ersetzt und jede Ableitung durch einen Differenzenausdruck, der auf das Punktgitter bezogen ist. Bei der Methode der finiten Elemente wird der Definitionsbereich in Teilbereiche mehr oder weniger beliebiger Form zerlegt, und diese Teilbereiche werden finite Elemente genannt. Für jedes finite Element wird eine analytische Näherungslösung des Problems mit unbestimmten Koeffizienten angesetzt, z.B. eine Näherungslösung U in Form eines Polynoms dritten Grades der Ortskoordinaten. Die zunächst noch unbekannten Werte der Koeffizienten differieren im allgemeinen von Element zu Element und werden so bestimmt, daß eine möglichst gute Näherungslösung U resultiert. U ist dann für jeden Punkt jedes finiten Elements und damit für jeden Punkt des Definitionsbereichs definiert, und nicht nur für einzelne Gitterpunkte.
Dietrich Marsal

8. Die Lösung von Variationsaufgaben I

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird die erste Randwertaufgabe für mehrdimensionale Variationsaufgaben ∫GFdG = Min mit im allgemeinen Fall
$$F=F(x,y,z,u,{{u}_{x}},{{u}_{y}},{{u}_{z}},{{u}_{xx}},{{u}_{xy}},{{u}_{yy}},{{u}_{xz}},{{u}_{yz}},{{u}_{zz}},)$$
behandelt. Das Integrationsgebiet G ist einfach oder mehrfach zusammenhängend; die gesuchte Funktion u ist auf allen Rändern gegeben, vielleicht auch zusätzlich auf Knoten im Innern von G. Andere Randbedingungen sind in Kapitel 10 behandelt. Die im Integranden F auftretenden Parameter sind zumeist feste Zahlen oder Ortsfunktionen. Hängen sie auch noch von der Unbekannten u oder Ableitungen von u ab, so treten gewöhnlich nichtlineare Gleichungssysteme der unbekannten U-Knotenwerte Ui auf. Dies ist auch bei allgemeiner Form von F der Fall. Zumeist ist allerdings F so beschaffen — vgl. die quadratische Form (7.7) -da(3 sich schließlich ein lineares Gleichungssystem der Ui ergibt. Die Lösung dieser Gleichungssysteme ist an Hand der Zusammenstellung am Ende des Inhaltsverzeichnisses zu finden.
Dietrich Marsal

9. Die Lösung von Variationsaufgaben II

Zusammenfassung
Bislang haben wir finite Elemente einfacher Form betrachtet und aus der jeweils vorgegebenen speziellen Gestalt die Eigenschaften des Elements abgeleitet. Dieses Verfahren wird bei komplexer Gestalt des Elements nur schwer durchführbar. Wir wollen deshalb die für uns wichtigen Eigenschaften finiter Elemente unabhängig von ihrer Form ableiten und die Ergebnisse in den folgenden Ziffern benutzen.
Dietrich Marsal

10. Gemischte Randbedingungen. Der Galerkin-Prozeß

Zusammenfassung
Die vorstehenden Kapitel haben gezeigt, daß die erste Randwertaufgabe — die Lösung des Variationsproblems ist auf dem Rand gegeben — in einheitlicher, übersichtlicher und eleganter Weise lösbar ist, und zwar sowohl für Ränder unterschiedlicher Gestalt als auch mit Elementen unterschiedlicher Eigenschaften.
Dietrich Marsal

Backmatter

Weitere Informationen